[Filho e Silva, p.586] Considere os polinômios P(x)=x^3-x e Q(x)=3 x^4+6 x^3-x^2+ 2 x-4, calcule as operações abaixo e escreva o grau do polinômio obtido.
P(x) cdot Q(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem dois polinômios, P(x) = x^3 - x e Q(x) = 3x^4 + 6x^3 - x^2 + 2x - 4 . A tarefa é multiplicar esses polinômios e descobrir o grau do polinômio resultante. Para fazer isso, vamos precisar saber como multiplicar termos de polinômios e entender o que determina o grau de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar dois polinômios, a gente precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro. Isso significa que vamos multiplicar x^3 de P(x) por cada termo de Q(x) e depois multiplicar -x de P(x) por cada termo de Q(x) .

Passo 3

Vamos começar multiplicando x^3 por cada termo de Q(x) :
  • x^3 times 3x^4 = 3x^7
  • x^3 times 6x^3 = 6x^6
  • x^3 times (-x^2) = -x^5
  • x^3 times 2x = 2x^4
  • x^3 times (-4) = -4x^3

Passo 4

Agora, vamos multiplicar -x por cada termo de Q(x) :
  • -x times 3x^4 = -3x^5
  • -x times 6x^3 = -6x^4
  • -x times (-x^2) = x^3
  • -x times 2x = -2x^2
  • -x times (-4) = 4x

Passo 5

Agora, vamos juntar todos os resultados das multiplicações:
3x^7 + 6x^6 - x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 3x^5 - 6x^4 + x^3 - 2x^2 + 4x

Passo 6

Vamos agora combinar os termos semelhantes. Isso significa somar os coeficientes dos termos que têm o mesmo expoente:
  • 3x^7 (não tem igual, fica assim)
  • 6x^6 (não tem igual, fica assim)
  • -x^5 - 3x^5 = -4x^5
  • 2x^4 - 6x^4 = -4x^4
  • -4x^3 + x^3 = -3x^3
  • -2x^2 (não tem igual, fica assim)
  • 4x (não tem igual, fica assim)

Passo 7

Colocando tudo junto após combinar os termos, o polinômio resultante é:
3x^7 + 6x^6 - 4x^5 - 4x^4 - 3x^3 - 2x^2 + 4x

Passo 8

Agora, para encontrar o grau do polinômio, a gente olha para o maior expoente de x que aparece. No nosso caso, o maior expoente é 7.

Resposta

O produto P(x) cdot Q(x) é 3x^7 + 6x^6 - 4x^5 - 4x^4 - 3x^3 - 2x^2 + 4x e o grau do polinômio obtido é 7.

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