[Filho e Silva, p.589] Calcule o quociente Q(x) e o resto R(x) na divisão A(x)B(x).
A(x)=x^4-5 x^2+x e B(x)=x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, queremos dividir o polinômio A(x) = x^4 - 5x^2 + x pelo polinômio B(x) = x^2 + 1 . Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente da divisão de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a divisão de polinômios, semelhante à divisão que fazemos com números, mas com algumas regras a mais.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os polinômios em ordem decrescente dos seus graus, ou seja, do maior para o menor. Nosso dividendo é A(x) = x^4 - 5x^2 + x e o divisor é B(x) = x^2 + 1 .

Passo 3

Agora, vamos começar a divisão. A ideia é ver quantas vezes o B(x) cabe no A(x) , começando pelo termo de maior grau. O termo de maior grau em A(x) é x^4 e em B(x) é x^2 .

Passo 4

Dividindo x^4 por x^2 , obtemos x^2 . Esse será o primeiro termo do quociente Q(x) .

Passo 5

Agora, multiplicamos x^2 pelo divisor B(x) :
x^2 times (x^2 + 1) = x^4 + x^2

Passo 6

Subtraímos esse resultado do dividendo original:
(x^4 - 5x^2 + x) - (x^4 + x^2) &= x^4 - 5x^2 + x - x^4 - x^2 &= -6x^2 + x
Agora, nosso novo dividendo é -6x^2 + x .

Passo 7

Repetimos o processo: dividimos o termo de maior grau do novo dividendo, -6x^2 , pelo termo de maior grau do divisor, x^2 . Isso dá -6 , que será o próximo termo do quociente Q(x) .

Passo 8

Multiplicamos -6 pelo divisor B(x) :
-6 times (x^2 + 1) = -6x^2 - 6

Passo 9

Subtraímos esse resultado do novo dividendo:
(-6x^2 + x) - (-6x^2 - 6) &= -6x^2 + x + 6x^2 + 6 &= x + 6
Agora, nosso novo dividendo é x + 6 .

Passo 10

Como o grau de x + 6 é menor que o grau de B(x) = x^2 + 1 , não podemos continuar a divisão. Portanto, x + 6 será o nosso resto R(x) .

Resposta

O quociente da divisão é Q(x) = x^2 - 6 e o resto é R(x) = x + 6 .

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