[Filho e Silva, p.589] Na divisão do polinômio A(x) por B(x)=x^2-2 x+1, encontramos como quociente Q(x)=x-2 e como resto R(x)=x+1. Determine A(x).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar o polinômio A(x) que, quando dividido por B(x) = x^2 - 2x + 1, dá como quociente Q(x) = x - 2 e resto R(x) = x + 1. Isso tá ligado à matéria de divisão de polinômios, onde usamos a fórmula A(x) = B(x) cdot Q(x) + R(x) para achar o polinômio original.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar o polinômio B(x) pelo quociente Q(x). Ou seja, precisamos calcular (x^2 - 2x + 1) cdot (x - 2). Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 3

Vamos distribuir cada termo de B(x) pelo Q(x):
  • x^2 cdot x = x^3
  • x^2 cdot (-2) = -2x^2
  • (-2x) cdot x = -2x^2
  • (-2x) cdot (-2) = 4x
  • 1 cdot x = x
  • 1 cdot (-2) = -2
Agora, juntando tudo:
x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + x - 2 = x^3 - 4x^2 + 5x - 2

Passo 4

Agora, vamos somar o resto R(x) = x + 1 ao resultado da multiplicação:
x^3 - 4x^2 + 5x - 2 + x + 1 = x^3 - 4x^2 + 6x - 1

Resposta

O polinômio A(x) é x^3 - 4x^2 + 6x - 1.

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