Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t a e seja c uma constante. Prove as seguintes propriedades de limites.
lim t a c u(t)=c lim t a u(t)

Passo 1

O enunciado diz que ucolonRtoR^n tem limite em tto a, digamos
limtto au(t)=L,
e que c é uma constante escalar. Queremos provar
limtto ac,u(t) = c,L
Vamos usar a definição varepsilon de<a de limite e a propriedade da norma vetor–escala.

Passo 2

Primeiro, trate o caso c=0. Nesse caso c,u(t)=0 para todo t, logo
limtto ac,u(t) = 0 = c,L
e está provado.

Passo 3

Agora suponha cneq0. Seja varepsilon>0. Como limtto au(t)=L, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|t-a|<de<a, vale
|u(t)-L|<varepsilon|c|

Passo 4

Para 0<|t-a|<de<a calculamos
l|c,u(t)-c,Lr| = |c|;l|u(t)-Lr| < |c|;varepsilon|c| = varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite, que
limtto ac,u(t) = c,L
como queríamos.

Resposta

limtto ac,u(t) = c;limtto au(t)

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