Suponha que
e
sejam funções vetoriais que possuem limites quando
e seja
uma constante. Prove as seguintes propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado diz que
tem limite em
, digamos
e que
é uma constante escalar. Queremos provar
Vamos usar a definição
–
de limite e a propriedade da norma vetor–escala.
Passo 2
Primeiro, trate o caso
. Nesse caso
para todo
, logo
e está provado.
Passo 3
Agora suponha
. Seja
. Como
, existe
tal que, sempre que
, vale
Passo 4
Para
calculamos
Isso mostra, pela definição de limite, que
como queríamos.