Suponha que
e
sejam funções vetoriais que possuem limites quando
e seja
uma constante. Prove as seguintes propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
quando
, então
O que vamos usar é a definição de limite para funções vetoriais em
e a desigualdade triangular.
Passo 2
Chamemos
Pela definição de limite, para todo
existem
e
tais que
Passo 3
Para controlar a soma, usamos a desigualdade triangular em
R^n :
Passo 4
Escolhemos
Então, sempre que
0<|t-a|<de<a , valem simultaneamente
l|u(t)-Lur|<tfracvarepsilon2
e
l|v(t)-Lvr|<tfracvarepsilon2 ,
logo
e
logo
Isso mostra, pela definição de limite, que
Resposta
A propriedade foi demonstrada: a soma de limites de funções vetoriais é o limite da soma.