Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t a e seja c uma constante. Prove as seguintes propriedades de limites.
lim t a[u(t)+v(t)]=lim t a u(t)+lim t a v(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se u(t)to Lu e v(t)to Lv quando tto a, então
limtto al[u(t)+v(t)r] =Lu+Lv
O que vamos usar é a definição de limite para funções vetoriais em R^n e a desigualdade triangular.

Passo 2

Chamemos
Lu = limtto au(t), Lv = limtto av(t)
Pela definição de limite, para todo varepsilon>0 existem de<a1>0 e de<a2>0 tais que
0<|t-a|<de<a1 ;Longrightarrow; l|u(t)-Lur|<varepsilon2,
0<|t-a|<de<a2 ;Longrightarrow; l|v(t)-Lvr|<varepsilon2

Passo 3

Para controlar a soma, usamos a desigualdade triangular em R^n:
l|u(t)+v(t) -l(Lu+Lvr)r| <= l|u(t)-Lur| + l|v(t)-Lvr|

Passo 4

Escolhemos
de<a = minde<a1,;de<a2
Então, sempre que 0<|t-a|<de<a, valem simultaneamente
l|u(t)-Lur|<tfracvarepsilon2
e
l|v(t)-Lvr|<tfracvarepsilon2,
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l|u(t)+v(t) -l(Lu+Lvr)r| < varepsilon2+varepsilon2 =varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite, que
limtto al[u(t)+v(t)r] =Lu+Lv

Resposta

A propriedade foi demonstrada: a soma de limites de funções vetoriais é o limite da soma.

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