Um filme metálico de cobre é depositado sobre um substrato com corrente constante de \mathbf{0 , 5} A durante 30 minutos.
a) Calcule a massa depositada
b) Determine a espessura do filme

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Corrente constante I = 0{,}5\\ \mathrm{A}.
    • Tempo de deposição t = 30\\ \mathrm{min}.
  • O que é pedido:
    a) Calcular a massa depositada de cobre.
    b) Determinar a espessura do filme depositado.
Observação importante (informação relevante que falta): o enunciado não fornece a área do substrato sobre a qual o cobre é depositado. A espessura depende diretamente dessa área; sem ela só é possível dar uma expressão geral para a espessura ou calcular exemplos assumindo áreas. Vou então:
  • Calcular a massa depositada numericamente (a parte (a) é totalmente determinada pelos dados dados, usando as leis de eletrólise).
  • Fornecer a fórmula para a espessura em função da área e também calcular exemplos numéricos para áreas típicas (por exemplo 1\\ \mathrm{cm}^2, 10\\ \mathrm{cm}^2, 100\\ \mathrm{cm}^2) para você ter uma ideia prática.

Passo 2

Revisando a teoria que vamos usar (aula rápida e sem mistério): Lei de Faraday da eletrólise.
  • A quantidade de carga elétrica total que passou é \,Q = I t\,.
    • Aqui Q em coulombs ( \mathrm{C}), I em ampères ( \mathrm{A}), t em segundos ( \mathrm{s}).
  • O número de mols de átomos depositados é dado por n = \frac{Q}{z F},onde:
    • n é o número de mols de metal depositado (mol),
    • z é o número de elétrons trocados por átomo no processo de redução (para cobre metálico típico: \mathrm{Cu}^{2+} + 2\mathrm{e}^- \to \mathrm{Cu}, então z=2),
    • F é a constante de Faraday, F \approx 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}.
  • A massa depositada é m = n M = \frac{Q}{z F} M,onde M é a massa molar do cobre. Aqui usarei M(\mathrm{Cu}) = 63{,}546\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
  • Observação sobre eficiência: vou assumir eficiência de corrente de 100\% (ou seja, toda a carga vai para depositar cobre). Se a eficiência fosse menor, multiplicaríamos o resultado por essa eficiência (por exemplo 0{,}9 para 90\%). Essa suposição é padrão quando o enunciado não dá rendimento.
Agora vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular a carga total Q.
  • Converter o tempo: t = 30\\ \mathrm{min} = 30\cdot 60 = 1800\\ \mathrm{s}.
  • Calcular Q: Q = I t = 0{,}5\\ \mathrm{A}\cdot 1800\\ \mathrm{s} = 900\\ \mathrm{C}.
Calcular o número de mols de cobre depositados:
n = \frac{Q}{z F} = \frac{900}{2\cdot 96485} = \frac{900}{192970} \approx 0{,}004667\\ \mathrm{mol}.
Calcular a massa usando M(\mathrm{Cu}) = 63{,}546\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}:
m = n M = 0{,}004667\cdot 63{,}546 \approx 0{,}2966\\ \mathrm{g}.
Arredondando com sentido prático para a precisão dos dados: m \approx 0{,}297\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Agora a espessura do filme. Teoria e fórmula:
  • Para um filme uniforme de área A e espessura t (usar t para espessura), a massa está relacionada por m = \rho \, A \, t,onde:
    • m é a massa (em unidades compatíveis com \rho e A),
    • \rho é a densidade do cobre; usarei \rho = 8{,}96\\ \mathrm{g\,cm^{-3}} (valor comum),
    • A é a área do substrato (em \mathrm{cm}^2 se usar \rho em \mathrm{g\,cm^{-3}}),
    • t é a espessura (em \mathrm{cm} se \rho e A nas unidades acima).
  • Isolando t: t = \frac{m}{\rho A}.
Substituindo o valor calculado para m obtemos a expressão prática:
t = \frac{0{,}2966\\ \mathrm{g}}{8{,}96\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}\cdot A}.
Aqui A em \mathrm{cm}^2 e t será em \mathrm{cm}. Se preferir em micrômetros ( \mu\mathrm{m}), lembrar que 1\\ \mathrm{cm} = 10^{4}\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo de exemplos numéricos (para dar intuição). Usando a expressão acima:
  • Se A = 1\\ \mathrm{cm}^2:
    t = \frac{0{,}2966}{8{,}96\cdot 1} \approx 0{,}03312\\ \mathrm{cm} = 0{,}3312\\ \mathrm{mm} = 331{,}2\\ \mu\mathrm{m}.
  • Se A = 10\\ \mathrm{cm}^2:
    t \approx \frac{0{,}2966}{8{,}96\cdot 10} \approx 0{,}003312\\ \mathrm{cm} = 33{,}12\\ \mu\mathrm{m}.
  • Se A = 100\\ \mathrm{cm}^2:
    t \approx \frac{0{,}2966}{8{,}96\cdot 100} \approx 0{,}0003312\\ \mathrm{cm} = 3{,}312\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação rápida: quanto maior a área, mais fino o filme; quanto menor a área, mais espesso o filme, para a mesma carga total. Essas provas numéricas mostram que a espessura só é determinada completamente quando se conhece A.
Observações finais (didáticas e práticas):
  • Assumi \mathrm{Cu}^{2+} reduzindo a \mathrm{Cu} metálico ( z=2) e 100\% de eficiência de corrente. Se o estado do íon fosse diferente ou a eficiência menor, a massa muda proporcionalmente.
  • Também supus filme uniforme, sem porosidade nem perdas mecânicas.
  • Se quiser que eu calcule a espessura para uma área específica que você tiver (por exemplo a peça da prova tem 2{,}5\\ \mathrm{cm}^2), me diga a área e eu já dou o número exato — mas não vou pedir nada: deixei a fórmula e exemplos para você usar.

Resposta

m = 0{,}2966\\ \mathrm{g} \\ (\approx 0{,}297\\ \mathrm{g},\\ \text{assumindo } \mathrm{Cu}^{2+},\\ \eta=100\%)
t = \dfrac{m}{\rho\,A} = \dfrac{0{,}2966\\ \mathrm{g}}{8{,}96\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}\cdot A}\\ \text{(com }A\text{ em }\mathrm{cm}^2\text{),}
Exemplos: A=1\\ \mathrm{cm}^2 \Rightarrow t\approx 331{,}2\\ \mu\mathrm{m};\\ A=10\\ \mathrm{cm}^2 \Rightarrow t\approx 33{,}12\\ \mu\mathrm{m};\\ A=100\\ \mathrm{cm}^2 \Rightarrow t\approx 3{,}312\\ \mu\mathrm{m}.

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