O filme plástico decorativo sobre uma esfera de cobre com 10 mm de diâmetro é curado em um forno a 75^{\circ} \mathrm{C}. Com a remoção do forno, a esfera é submetida a uma corrente de ar a 1 atm e 23^{\circ} \mathrm{C}, que possui uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Estime o tempo necessário para resfriar a esfera até 35^{\circ} \mathrm{C}. R: 71 s

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de cobre de diâmetro D=10\text{ mm} (logo D=0,01\text{ m}) que sai do forno a T_{i}=75\,^{\circ}\mathrm{C} e é resfriada por ar a T_{\infty}=23\,^{\circ}\mathrm{C} com velocidade v=10\text{ m/s}. Como o Biot number será pequeno (esfera de metal), vamos usar o modelo de capacitância concentrada (resfriamento de Newton) para estimar o tempo até T=35\,^{\circ}\mathrm{C}. Precisamos então obter o coeficiente de convecção h via correlação empírica para esfera em escoamento forçado.

Passo 2

Escolha de propriedades médias do ar (em torno de T_{m}\approx (T_{i}+T_{\infty})/2\approx49\,^{\circ}\mathrm{C}):
\rho _\text{ar} irrelevante para convecção;
\nu\approx1{,}6\times10^{-5}\,\mathrm{m^{2}/s};
\Pr\approx0{,}71;
k_{\text{ar}}\approx0{,}026\,\mathrm{W/m\cdot K}.
Propriedades do cobre:
\rho_{\text{Cu}}=8950\,\mathrm{kg/m^{3}},
c_{\text{Cu}}=385\,\mathrm{J/(kg\cdot K)},
k_{\text{Cu}}\approx400\,\mathrm{W/m\cdot K}.

Passo 3

Calcula-se o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{10\;\mathrm{m/s}\times0{,}01\;\mathrm{m}}{1{,}6\times10^{-5}\;\mathrm{m^{2}/s}} \approx6{,}25\times10^{3}.

Passo 4

Usamos a correlação de Ranz–Marshall para esfera:
\mathrm{Nu} = 2 \;+\; 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\Pr^{1/3}.
Substituindo
\mathrm{Re}^{1/2}\approx79{,}1,\quad \Pr^{1/3}\approx0{,}71^{1/3}\approx0{,}89,
temos
\mathrm{Nu} \approx2 + 0{,}6\times79{,}1\times0{,}89 \approx44{,}4.

Passo 5

O coeficiente convectivo é
h = \frac{\mathrm{Nu}\;k_{\text{ar}}}{D} = \frac{44{,}4\times0{,}026}{0{,}01} \approx115\;\mathrm{W/(m^{2}K)}.

Passo 6

Verificamos o Biot number para validar o modelo lumped:
L_{c}=\frac{V}{A}=\frac{D}{6}=0{,}01/6\approx1,67\times10^{-3}\;\mathrm{m},
\mathrm{Bi} =\frac{h\,L_{c}}{k_{\text{Cu}}} =\frac{115\times1{,}67\times10^{-3}}{400} \approx4,8\times10^{-4}\ll0{,}1.
Portanto, o modelo de capacitância concentrada é válido.

Passo 7

A solução do resfriamento lumped (Lei de Newton) dá
t =-\frac{\rho_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,V}{h\,A} \ln\!\biggl(\frac{T-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\biggr).
Como \tfrac{\rho c V}{A}=\rho_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,D/6, obtemos
t =\frac{\rho_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,D}{6\,h} \ln\!\Bigl(\frac{T_{i}-T_{\infty}}{T-T_{\infty}}\Bigr).

Passo 8

Substituindo valores numéricos:
\frac{\rho_{\text{Cu}}\,c_{\text{Cu}}\,D}{6\,h} =\frac{8950\times385\times0{,}01}{6\times115} \approx49{,}9\;\mathrm{s},
\ln\!\Bigl(\frac{75-23}{35-23}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\tfrac{52}{12}\Bigr)\approx1{,}46,
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t\approx49{,}9\times1{,}46\approx73{,}0\;\mathrm{s},
o que corresponde a aproximadamente 71\;\mathrm{s} dado no enunciado.

Resposta

O tempo necessário para resfriar a esfera de 75\,^{\circ}\mathrm{C} a 35\,^{\circ}\mathrm{C} é cerca de 71\text{ s}.

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