1- Temos dados da filtração em laboratório de uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} em água a 298,2 \mathrm{~K} realizada a uma pressão constante de 338 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Dados: Área do filtro prensa de placa: \mathrm{A}=0,0439 \mathrm{~m}^{2}; Concentração de alimentação: \mathrm{Cs}=23,47 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) Calcule as constantes \alpha e \mathrm{R}_{\mathrm{m}} a partir dos dados experimentais de volume de filtrado \left(\mathrm{m}^{3}\right) versus tempo de filtração (s).
(b) Estime o tempo necessário para filtrar 1 \mathrm{~m}^{3} da mesma suspensão em um filtro industrial com 1 \mathrm{~m}^{2} de área.
(c) Se o tempo limite para essa filtração fosse de 1 h , qual deveria ser a área do filtro?
Tempo (s) Volume ( \mathbf{m}^{\mathbf{3}} )
4,4 0,498 \times 10^{-3}
9,5 1,000 \times 10^{-3}
16,3 1,501 \times 10^{-3}
24,6 2,000 \times 10^{-3}
34,7 2,498 \times 10^{-3}
46,1 3,002 \times 10^{-3}
59,0 3,506 \times 10^{-3}
73,6 4,004 \times 10^{-3}
89,4 4,502 \times 10^{-3}
107,3 5,009 \times 10^{-3}

Passo 1

O enunciado trata de filtração em pressão constante de uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} em água a \Delta P=338\times10^{3}\,\mathrm{Pa}.
Conteúdo: lei de Darcy para filtração com formação de bolo, que leva à equação
t \;=\;\frac{\mu R_{m}}{\Delta P}\,v\;+\;\frac{\mu\,\alpha\,C_{s}}{2\,\Delta P}\,v^{2},
onde v=V/A é o volume de filtrado por área. Dividindo por v, obtemos
\frac{t}{v} =\frac{\mu R_{m}}{\Delta P} +\frac{\mu\,\alpha\,C_{s}}{2\,\Delta P}\;v
e então, num gráfico de \tfrac{t}{v} versus v, a inclinação m e o coeficiente linear b nos dão
m=\frac{\mu\,\alpha\,C_{s}}{2\,\Delta P}, \quad b=\frac{\mu\,R_{m}}{\Delta P}.
Para resolver vamos precisar de
  • os dados experimentais (t,V),
  • a área do filtro A=0,0439\,\mathrm{m}^2,
  • a concentração \;C_s=23{,}47\,\mathrm{kg/m}^3,
  • a viscosidade da água em 298{,}2\,\mathrm{K}, que tomamos como \mu=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 2

Transformamos cada par (t,V) em
v=\frac{V}{A},\qquad \frac{t}{v}.
Por exemplo, para t=4{,}4\,\mathrm s e V=0{,}498\times10^{-3}\,\mathrm m^3,
v=\frac{0{,}498\times10^{-3}}{0{,}0439}=0{,}01135\,\mathrm m, \quad \frac{t}{v}=\frac{4{,}4}{0{,}01135}=387{,}9\,\mathrm{s/m},
e assim por diante para as 10 medidas.

Passo 3

Fazendo regressão linear (ou usando o primeiro e o último ponto) em \tfrac{t}{v} versus v obtém-se aproximadamente
m=\frac{\Delta(\tfrac{t}{v})}{\Delta v}\approx5{,}38\times10^{3}\,\mathrm{s/m^2}, \quad b\approx3{,}27\times10^{2}\,\mathrm{s/m}.

Passo 4

A partir de
m=\frac{\mu\,\alpha\,C_{s}}{2\,\Delta P} \;\Longrightarrow\; \alpha =\frac{2\,\Delta P\,m}{\mu\,C_{s}}
b=\frac{\mu\,R_{m}}{\Delta P} \;\Longrightarrow\; R_{m} =\frac{b\,\Delta P}{\mu}
substituindo \mu=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}, \Delta P=338\times10^{3}\,\mathrm{Pa}, C_s=23{,}47\,\mathrm{kg/m}^3, m=5{,}38\times10^{3} e b=3{,}27\times10^{2}, vem
\alpha\approx1{,}55\times10^{11}\,\mathrm{m/kg}, \qquad R_{m}\approx1{,}11\times10^{11}\,\mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Para um filtro industrial com A=1\,\mathrm m^2 e V=1\,\mathrm m^3 temos v=1\,\mathrm m. Então
t =v\Bigl(b + m\,v\Bigr) =1\;\bigl(3{,}27\times10^{2}+5{,}38\times10^{3}\bigr)\, \mathrm s \approx5{,}71\times10^{3}\,\mathrm s \approx1{,}59\,\mathrm h.

Passo 6

Para filtrar V=1\,\mathrm m^3 em t=1\,\mathrm h=3600\,\mathrm s com as mesmas constantes, escrevemos
tA^{2}-V\,b\,A - m\,V^{2}=0
e a solução positiva é
A =\frac{V\,b + \sqrt{(V\,b)^{2}+4\,t\,m\,V^{2}}}{2\,t} \approx1{,}27\,\mathrm m^{2}.

Resposta

(a) \alpha\approx1{,}55\times10^{11}\,\mathrm{m/kg} e R_{m}\approx1{,}11\times10^{11}\,\mathrm{m^{-1}}.
(b) t\approx5{,}71\times10^{3}\,\mathrm s\approx1{,}59\,\mathrm h.
(c) A\approx1{,}27\,\mathrm m^{2}.

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