Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso h(t)=10 e^-1000 t u(t).
Determine uma expressão para a saída y(t) desse filtro quando é aplicado à sua entrada o sinal
x(t)=sumk=1^4 10 cos (10^k t)

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI causal com resposta ao impulso
h(t)=10,e^-1000,t,u(t)
e entrada
x(t)=sumk=1^410cosl(10^ktr)
Queremos a saída y(t)=h*x(t).
Conteúdo: convolução em tempo ou uso da transformada de Fourier/Resposta em frequência.

Passo 2

Vamos achar a resposta em frequência H(jomega). Por definição de transformada de h(t),
H(jomega)=integral0^infty10,e^-1000te^-jomega t,dt =10integral0^inftye^-(1000+jomega)t,dt =101000+jomega

Passo 3

Como x(t) é soma de cossenos, usamos linearidade. Se xk(t)=10cos(omegak t) com omegak=10^k, então
yk(t)=h*xk(t)
pode ser escrito em termo de H(jomegak). Lembre que para entrada Acos(omega t) a saída é
A,|H(jomega)|cosl(omega t+arg H(jomega)r)

Passo 4

Para cada omegak=10^k temos
H(jomegak)=101000+jomegak, |H(jomegak)|=10raiz1000^2+omegak^2, arg H(jomegak)=-arctan!l(tfracomegak1000r)
Como a amplitude de cada cosseno de entrada é 10, a amplitude de saída será
Ak =10cdot|H(jomegak)| =100raiz1000^2+(10^k)^2,
e o deslocamento de fase é phik=-arctan(10^k/1000).

Passo 5

Somando as respostas parciais, a saída total é
y(t) =sumk=1^4 100raiz1000^2+(10^k)^2 ;cos!l(10^k t-arctanl(tfrac10^k1000r)r)

Resposta

y(t) =sumk=1^4 100raiz1000^2+(10^k)^2 cos!l(10^k t-arctanl(tfrac10^k1000r)r)

Exercícios relacionados