Um filtro passa-baixas não-ideal possui resposta ao impulso h(t)=10 e^-1000 t u(t).
Determine a resposta em frequência H(j omega) desse filtro.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a resposta em frequência H(jomega) de um filtro passa-baixas não-ideal cuja resposta ao impulso é h(t) = 10 e^-1000 t u(t) . Aqui, estamos lidando com conceitos de Transformada de Fourier, que nos ajuda a transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a resposta em frequência H(jomega) é a Transformada de Fourier da resposta ao impulso h(t) . A Transformada de Fourier de uma função h(t) é dada por:
H(jomega) = integral-infty^+infty h(t) e^-jomega t dt

Passo 3

No nosso caso, h(t) = 10 e^-1000 t u(t) , onde u(t) é a função degrau de Heaviside que vale 0 para t < 0 e 1 para t >= 0 . Isso significa que podemos simplificar a integral para:
H(jomega) = integral0^+infty 10 e^-1000 t e^-jomega t dt

Passo 4

Agora, combinamos os expoentes:
H(jomega) = 10 integral0^+infty e^-(1000 + jomega) t dt
Para resolver essa integral, usamos a fórmula da integral de uma exponencial:
integral0^+infty e^-at dt = 1a, onde Re(a) > 0

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
H(jomega) = 10 cdot 11000 + jomega

Passo 6

Podemos racionalizar o denominador para expressar de forma mais clara. Multiplicamos o numerador e o denominador por 1000 - jomega :
H(jomega) = 10 cdot 1000 - jomega(1000 + jomega)(1000 - jomega) = 10 cdot 1000 - jomega1000^2 + omega^2

Passo 7

Separando em parte real e imaginária:
H(jomega) = 10 cdot 10001000^2 + omega^2 - j cdot 10 omega1000^2 + omega^2

Resposta

A resposta em frequência do filtro é:
H(jomega) = 101000 + jomega
Ou, de forma racionalizada:
H(jomega) = 10 (1000 - jomega)1000^2 + omega^2

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