Um filtro de velocidade tem um campo elétrico \vec{E}=E_{0} \hat{k} e campo magnético \vec{B}=5 \hat{j} m T. Qual o valor de E_{0} para que um elétron se movimentando ao longo do eixo x com energia cinética de 900 eV (eletron-volt) não seja desviado (use a carga do elétron sendo 1.602 \times 10^{-19} \mathrm{C} e massa do elétron de 9.109 \times 10^{-31} \mathrm{Kg} ? [Dê sua resposta em N/C]

Passo 1

O enunciado descreve um seletor de velocidades em que um elétron, de carga e=1{,}602\times10^{-19}\text{ C} e massa m=9{,}109\times10^{-31}\text{ kg}, entra ao longo de x em campos cruzados \vec E=E_{0}\hat k e \vec B=5\hat j\text{ mT}. Queremos achar E_{0} para que o elétron não seja desviado. Usaremos o equilíbrio entre a força elétrica e a força magnética e a relação entre energia cinética e velocidade.

Passo 2

A força elétrica é
\vec F_{E}=-e\,E_{0}\,\hat k
e a força magnética é
\vec F_{B}=-e\,(\vec v\times\vec B).
Como \vec v=v\hat i e \vec B=B\hat j, segue
\vec v\times\vec B = vB\,\hat k.
Para não haver desvio, \vec F_{E}+\vec F_{B}=0, de onde
eE_{0} = e\,v\,B \qquad\Longrightarrow\qquad E_{0}=v\,B.

Passo 3

A energia cinética do elétron é
\mathrm{KE}=\tfrac12\,m\,v^{2}=900\text{ eV}
e, em joules, 900\text{ eV}=900\times1{,}602\times10^{-19}\text{ J}. Assim,
v =\sqrt{\frac{2\cdot900\cdot1{,}602\times10^{-19}}{9{,}109\times10^{-31}}}.

Passo 4

Calculando numericamente,
v \approx\sqrt{\frac{2\cdot900\cdot1{,}602\times10^{-19}}{9{,}109\times10^{-31}}} \approx1{,}78\times10^{7}\text{ m/s}.
Como B=5\text{ mT}=5\times10^{-3}\text{ T},
E_{0}=v\,B\approx1{,}78\times10^{7}\times5\times10^{-3} \approx8{,}9\times10^{4}\text{ N/C}.

Resposta

E_{0}\approx8{,}9\times10^{4}\text{ N/C}.

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