Um próton se desloca com velocidade vec{v}=(3 \hat{i}+5 \hat{j}+1.5 \hat{k}) K m / h em uma região do espaço no qual o campo magnético é vec{B}=(1 \hat{j}-5 \hat{k}) T.
Calcule a Força Magnética. [Dê sua resposta das três componentes x, y e z em cada um dos quadros em Newtons]

Passo 1

O enunciado nos dá um próton (carga q=+1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}) com velocidade
\vec v = (3\,\hat i + 5\,\hat j + 1{,}5\,\hat k)\;\mathrm{km/h}
em um campo magnético
\vec B = (0\,\hat i + 1\,\hat j - 5\,\hat k)\;\mathrm{T}
e pede a força magnética
\vec F = q\,\vec v\times \vec B.
Vamos usar: 1) conversão de unidades de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}; 2) definição de produto vetorial; 3) multiplicação pela carga.

Passo 2

Converter \vec v de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. O fator é
1\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} = \frac{1000}{3600}\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s} = \frac{5}{18}\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}.
Logo
\vec v = \bigl(3\,,\,5\,,\,1{,}5\bigr)\frac{5}{18}\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s} = \Bigl(\tfrac{15}{18},\,\tfrac{25}{18},\,\tfrac{7{,}5}{18}\Bigr)\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \approx (0{,}8333,\,1{,}3889,\,0{,}4167)\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec v\times\vec B. Com
\vec v=(v_x,v_y,v_z),\quad \vec B=(0,B_y,B_z),
temos
(\vec v\times\vec B)_x = v_yB_z - v_zB_y = (1{,}3889)(-5) - (0{,}4167)(1) = -6{,}9445 - 0{,}4167 = -7{,}3612,
(\vec v\times\vec B)_y = -(v_xB_z - v_z\cdot0) = -\bigl((0{,}8333)(-5)\bigr) = +4{,}1667,
(\vec v\times\vec B)_z = v_xB_y - v_y\cdot0 = (0{,}8333)(1) = 0{,}8333.
Portanto
\vec v\times\vec B \approx (-7{,}3612,\;4{,}1667,\;0{,}8333)\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\cdot\mathrm T.

Passo 4

Aplicar a fórmula da força de Lorentz
\vec F = q\,(\vec v\times\vec B).
Com q=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm C, multiplicamos cada componente:
F_x = 1{,}602\times10^{-19}\times(-7{,}3612)\approx -1{,}18\times10^{-18}\,\mathrm N,
F_y = 1{,}602\times10^{-19}\times4{,}1667\approx 6{,}68\times10^{-19}\,\mathrm N,
F_z = 1{,}602\times10^{-19}\times0{,}8333\approx 1{,}33\times10^{-19}\,\mathrm N.

Resposta

F_x \approx -1,18\times10^{-18}\,\mathrm N F_y \approx \phantom{-}6,68\times10^{-19}\,\mathrm N F_z \approx \phantom{-}1,33\times10^{-19}\,\mathrm N

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