No fim de quanto tempo os capitais de
u.m., a
a.a., e
u.m. a
a.a., produzirão montantes iguais se forem aplicados a juros simples? R.: 6 anos e 8 meses.
Passo 1
O enunciado pede: determinar em quanto tempo os montantes (valores finais) serão iguais quando dois capitais diferentes são aplicados a juros simples.
Informações dadas:
u.m., taxa
ao ano.
u.m., taxa
ao ano.
Tipo de aplicação: juros simples.
Queremos achar o tempo (em anos) tal que os montantes sejam iguais.
Informações dadas:
Tipo de aplicação: juros simples.
Queremos achar o tempo
Passo 2
Fórmula de juros simples: a relação entre capital, taxa, tempo e montante é
onde
é o montante (valor final),
é o capital inicial,
é a taxa por unidade de tempo (em forma decimal) e
é o tempo (em anos).
Explicando as variáveis: é quanto comecei;
é, por exemplo,
por ano;
é o número de anos; o termo
representa os juros simples acumulados proporcionalmente ao tempo; então
multiplica o capital para dar o montante.
Primeiro converto as taxas percentuais para decimais: e
.
Explicando as variáveis:
Primeiro converto as taxas percentuais para decimais:
Passo 3
Como queremos os montantes iguais, escrevemos
Substituindo os dados:
Agora vou desenvolver os dois lados para obter uma equação linear em
.
Passo 4
Faço as multiplicações passo a passo:
e
. Expandindo:
Agora isolo
. Subtraio
de ambos os lados e subtraio
de ambos os lados:
Logo
Passo 5
Converto
anos em anos e meses. Primeiro divido em parte inteira e parte fracionária:
A parte
de ano em meses é
Portanto o tempo é
anos e
meses.
Passo 6
Cheque rápido para garantir que deu certo (opcional, mas bom para confiar no resultado): calculo o montante com
. Para o primeiro capital:
Calculando
, então
.
Para o segundo capital:
Para o segundo capital:
Calculando
, então
.
Os montantes coincidem, confirmação feita.
Os montantes coincidem, confirmação feita.