No fim de quanto tempo os capitais de 1.800,00 u.m., a 18 \% a.a., e 2.200,00 u.m. a 12 \% a.a., produzirão montantes iguais se forem aplicados a juros simples? R.: 6 anos e 8 meses.

Passo 1

O enunciado pede: determinar em quanto tempo os montantes (valores finais) serão iguais quando dois capitais diferentes são aplicados a juros simples.
Informações dadas:
P_1 = 1\,800{,}00 u.m., taxa r_1 = 18\% ao ano.
P_2 = 2\,200{,}00 u.m., taxa r_2 = 12\% ao ano.
Tipo de aplicação: juros simples.
Queremos achar o tempo t (em anos) tal que os montantes sejam iguais.

Passo 2

Fórmula de juros simples: a relação entre capital, taxa, tempo e montante é
A = P(1 + r t),
onde A é o montante (valor final), P é o capital inicial, r é a taxa por unidade de tempo (em forma decimal) e t é o tempo (em anos).
Explicando as variáveis: P é quanto comecei; r é, por exemplo, 18\% = 0{,}18 por ano; t é o número de anos; o termo r t representa os juros simples acumulados proporcionalmente ao tempo; então 1+r t multiplica o capital para dar o montante.
Primeiro converto as taxas percentuais para decimais: 18\% = 0{,}18 e 12\% = 0{,}12.

Passo 3

Como queremos os montantes iguais, escrevemos
P_1(1 + r_1 t) = P_2(1 + r_2 t).
Substituindo os dados:
1\,800(1 + 0{,}18t) = 2\,200(1 + 0{,}12t).
Agora vou desenvolver os dois lados para obter uma equação linear em t.

Passo 4

Faço as multiplicações passo a passo: 1\,800\cdot 0{,}18 = 324 e 2\,200\cdot 0{,}12 = 264. Expandindo:
1\,800 + 324t = 2\,200 + 264t.
Agora isolo t. Subtraio 264t de ambos os lados e subtraio 1\,800 de ambos os lados:
324t - 264t = 2\,200 - 1\,800
60t = 400.
Logo
t = \frac{400}{60} = \frac{20}{3}\\ \text{anos}.

Passo 5

Converto \tfrac{20}{3} anos em anos e meses. Primeiro divido em parte inteira e parte fracionária:
\frac{20}{3} = 6 + \frac{2}{3}\\ \text{anos}.
A parte \tfrac{2}{3} de ano em meses é
\frac{2}{3}\times 12 = 8\\ \text{meses}.
Portanto o tempo é 6 anos e 8 meses.

Passo 6

Cheque rápido para garantir que deu certo (opcional, mas bom para confiar no resultado): calculo o montante com t=\tfrac{20}{3}. Para o primeiro capital:
A_1 = 1\,800\bigl(1 + 0{,}18\cdot \tfrac{20}{3}\bigr).
Calculando 0{,}18\cdot \tfrac{20}{3} = \tfrac{3{,}6}{3} = 1{,}2, então A_1 = 1\,800(1 + 1{,}2) = 1\,800\cdot 2{,}2 = 3\,960.
Para o segundo capital:
A_2 = 2\,200\bigl(1 + 0{,}12\cdot \tfrac{20}{3}\bigr).
Calculando 0{,}12\cdot \tfrac{20}{3} = \tfrac{2{,}4}{3} = 0{,}8, então A_2 = 2\,200(1 + 0{,}8) = 2\,200\cdot 1{,}8 = 3\,960.
Os montantes coincidem, confirmação feita.

Resposta

6 anos e 8 meses.

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