Em quantos meses um capital dobra no regime de capitalização simples a uma taxa de 18 \% ao mês? R.: 5 meses e 17 dias.

Passo 1

O enunciado pede: em quantos meses um capital dobra (ou seja, o montante fica o dobro do capital) no regime de capitalização simples, sabendo que a taxa é de 18\% ao mês.
Dados relevantes fornecidos:
\,
\quad - taxa por mês: i = 18\% ao mês (ou seja, i = 0,18 em decimal);
\quad - regime: capitalização simples;
\quad - condição desejada: o montante A é o dobro do capital C, ou seja A = 2C.

Passo 2

Fórmula do montante no regime de juros simples:
A = C\,(1 + i\,n)
Expliquei cada símbolo:
\quad - A é o montante (valor final);
\quad - C é o capital inicial (valor emprestado/investido);
\quad - i é a taxa por período (aqui por mês), em forma decimal;
\quad - n é o número de períodos (aqui, número de meses).
Intuição rápida: em juros simples os juros não se capitalizam, então a cada período soma-se sempre a mesma parcela C\cdot i.

Passo 3

Como queremos dobrar o capital, substituímos A = 2C na fórmula:
2C = C\,(1 + i\,n)
Cortamos C dos dois lados (desde que C\neq 0), ficando:
2 = 1 + i\,n
Agora isolamos n:
n = \frac{2-1}{i} = \frac{1}{i}
Então, para dobrar no regime simples, o tempo em períodos é n=\dfrac{1}{i}. (Isso faz sentido: quanto maior a taxa, menor o tempo.)

Passo 4

Substituindo a taxa numérica \,i = 0,18:
n = \frac{1}{0,18} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9}
Agora convertemos para forma mista:
\frac{50}{9} = 5 + \frac{5}{9}
Logo n = 5 meses mais uma fração de \dfrac{5}{9} de mês. Em decimal, n \approx 5,555\ldots meses.

Passo 5

Para transformar a fração de mês em dias, usamos a convenção usual de mercado: 1 mês \approx 30 dias (se a sua prova usa outra convenção, ajuste; aqui adotamos 30 dias). Calculamos:
\frac{5}{9}\times 30 = \frac{150}{9} = 16 + \frac{2}{3}
Ou seja, \frac{5}{9} de mês equivale a 16\frac{2}{3} dias. Convertendo a parte fracionária em horas:
\frac{2}{3}\\ \text{dia} = \frac{2}{3}\times 24\\ \text{horas} = 16\\ \text{horas}.
Portanto o tempo exato é 5 meses, 16 dias e 16 horas. Em linguagem de dias inteiros, arredondando para o dia mais próximo, dá 17 dias.

Passo 6

Resumo final do raciocínio: n=\dfrac{1}{0,18}=\dfrac{50}{9}=5+\dfrac{5}{9} meses, que corresponde a 5 meses e aproximadamente 16{,}67 dias — arredondando, 5 meses e 17 dias.

Resposta

\,5;meses e \,17;dias.

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