Em quantos meses um capital dobra no regime de capitalização simples a uma taxa de
ao mês? R.: 5 meses e 17 dias.
Passo 1
O enunciado pede: em quantos meses um capital dobra (ou seja, o montante fica o dobro do capital) no regime de capitalização simples, sabendo que a taxa é de
ao mês.
Dados relevantes fornecidos:
- taxa por mês:
ao mês (ou seja,
em decimal);
- regime: capitalização simples;
- condição desejada: o montante
é o dobro do capital
, ou seja
.
Dados relevantes fornecidos:
Passo 2
Fórmula do montante no regime de juros simples:
Expliquei cada símbolo:
-
é o montante (valor final);
-
é o capital inicial (valor emprestado/investido);
-
é a taxa por período (aqui por mês), em forma decimal;
-
é o número de períodos (aqui, número de meses).
Intuição rápida: em juros simples os juros não se capitalizam, então a cada período soma-se sempre a mesma parcela .
Intuição rápida: em juros simples os juros não se capitalizam, então a cada período soma-se sempre a mesma parcela
Passo 3
Como queremos dobrar o capital, substituímos
na fórmula:
Cortamos
dos dois lados (desde que
), ficando:
Agora isolamos
:
Então, para dobrar no regime simples, o tempo em períodos é
. (Isso faz sentido: quanto maior a taxa, menor o tempo.)
Passo 4
Substituindo a taxa numérica
:
Agora convertemos para forma mista:
Logo
meses mais uma fração de
de mês. Em decimal,
meses.
Passo 5
Para transformar a fração de mês em dias, usamos a convenção usual de mercado:
mês
dias (se a sua prova usa outra convenção, ajuste; aqui adotamos 30 dias). Calculamos:
Ou seja,
de mês equivale a
dias. Convertendo a parte fracionária em horas:
Portanto o tempo exato é
meses,
dias e
horas. Em linguagem de dias inteiros, arredondando para o dia mais próximo, dá
dias.
Passo 6
Resumo final do raciocínio:
meses, que corresponde a
meses e aproximadamente
dias — arredondando,
meses e
dias.