Por fim, resolva as seguintes integrais utilizando substituição:
\int \frac{(x+1) \sqrt{2 x+x^{2}}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{(x+1)\,\sqrt{2x + x^{2}}}{x}\,dx
usando substituição. O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais envolvendo raiz quadrada de polinômio de segundo grau. Vamos escolher uma substituição que simplifique o produto (x+1)\,dx junto com a raiz.

Passo 2

Definimos
u = \sqrt{x^{2} + 2x}
então
u^{2} = x^{2} + 2x \quad\Longrightarrow\quad 2u\,du = (2x + 2)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (x+1)\,dx = u\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em u. Note que
\sqrt{2x + x^{2}} = u \quad\text{e}\quad (x+1)\,dx = u\,du,
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\int \frac{(x+1)\,\sqrt{2x + x^{2}}}{x}\,dx = \int \frac{u \cdot u}{x}\,du = \int \frac{u^{2}}{x}\,du.
Mas u^{2} = x^{2} + 2x, então
\frac{u^{2}}{x} = \frac{x^{2} + 2x}{x} = x + 2.
Isso reduz a integral a
\int (x+2)\,du.

Passo 4

Ainda há x misturado com u. Da relação u^{2} = x^{2} + 2x temos
u^{2} + 1 = x^{2} + 2x + 1 = (x+1)^{2} \quad\Longrightarrow\quad x+1 = \sqrt{u^{2} + 1} \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{u^{2}+1} - 1.
Assim
x+2 = \bigl(\sqrt{u^{2}+1}-1\bigr) + 2 = \sqrt{u^{2}+1} + 1.
Portanto
\int (x+2)\,du = \int \bigl(\sqrt{u^{2}+1} + 1\bigr)\,du = \int \sqrt{u^{2}+1}\,du \;+\; \int 1\,du.
Usamos as fórmulas padrão:
\int \sqrt{u^{2}+1}\,du = \frac{u}{2}\,\sqrt{u^{2}+1} + \frac{1}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}+1}\bigr|
e
\int 1\,du = u.
Somando,
\int (x+2)\,du = \frac{u}{2}\,\sqrt{u^{2}+1} + \frac{1}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}+1}\bigr| + u + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembre-se que u = \sqrt{x^{2}+2x} e \sqrt{u^{2}+1} = x+1. Logo a primitiva fica
\frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{2}\,(x+1) + \frac{1}{2}\ln\!\bigl|\,\sqrt{x^{2}+2x} + x+1\bigr| + \sqrt{x^{2}+2x} + C.
Agrupando os termos envolvendo \sqrt{x^{2}+2x},
\frac{x+1}{2}\,\sqrt{x^{2}+2x} + \sqrt{x^{2}+2x} = \frac{x+3}{2}\,\sqrt{x^{2}+2x}.

Resposta

\int \frac{(x+1)\,\sqrt{2x + x^{2}}}{x}\,dx = \frac{x+3}{2}\,\sqrt{x^{2}+2x} + \frac{1}{2}\ln\!\bigl|x+1 + \sqrt{x^{2}+2x}\bigr| + C.

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