Por fim, resolva as seguintes integrais utilizando substituição:
\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. Esse método consiste em trocar a variável x por uma nova variável u de modo que a integral fique mais simples.

Passo 2

Observe que dentro de \sin(\cdot) está e^{x} e que sua derivada é justamente e^{x}\,dx. Então fazemos a substituição
u = e^{x}, \qquad du = e^{x}\,dx.
Com isso, o integrando e^{x}\sin(e^{x})\,dx se transforma em \sin(u)\,du, ou seja,
\int e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,du.

Passo 3

Agora basta integrar \sin(u). Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Voltando à variável original x (pois u = e^{x}), obtemos
-\cos\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

-\cos\bigl(e^{x}\bigr) + C

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