Por fim, resolva as seguintes integrais utilizando substituição:
\int \operatorname{sec} ^{2} \theta \tan ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,\tan^{2}\theta \,d\theta
usando o método de substituição. Vamos aproveitar que a derivada de \tan\theta é \operatorname{sec}^{2}\theta, o que sugere a substituição mais natural.

Passo 2

Definimos a substituição
u = \tan\theta,
então
du = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Isso transforma \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta diretamente em du e \tan^{2}\theta em u^{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,\tan^{2}\theta \,d\theta = \int u^{2}\,du.
Agora basta integrar:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Retornando à variável original \theta, substituímos u = \tan\theta:
\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{\tan^{3}\theta}{3} + C.

Resposta

\frac{\tan^{3}\theta}{3} + C

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