1. (a) Suponha que \sum a_{n} e \sum b_{n} sejam séries com termos positivos e que \sum b_{n} seja divergente. Demonstre que se
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty
Então \sum a_{n} também é divergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}
(ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}

Passo 1

O enunciado dá duas partes.
  • (a) Temos duas séries com termos positivos, \sum a_{n} e \sum b_{n}. Sabe-se que \sum b_{n} é divergente e que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty.
A pergunta: provar que \sum a_{n} também é divergente.
  • (b) Usar a parte (a) para concluir sobre as séries:
    (i) \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n}.
    (ii) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.
Passarei a resolver (a) de forma geral e depois aplicarei ao caso (b).

Passo 2

Definição explícita do que significa \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\infty (muito importante para usar corretamente).
Dizemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty
se, para todo número real M>0, existe um índice N tal que, para todo n\ge N,
\frac{a_n}{b_n}>M.
Isto é, a razão \dfrac{a_n}{b_n} fica arbitrariamente grande quando n é suficientemente grande.

Passo 3

Escolha M=1 na definição acima. Então existe N tal que, para todo n\ge N,
\frac{a_n}{b_n}>1.
Multiplicando ambos os lados por b_n>0 (os termos são positivos pelo enunciado), obtém-se, para n\ge N,
a_n>b_n.

Passo 4

Agora use o teste de comparação simples para séries com termos positivos: se para todo n\ge N temos a_n\ge b_n e \sum_{n=1}^{\infty} b_n diverge, então a soma da cauda \sum_{n=N}^{\infty} b_n diverge (porque retirar um número finito de termos não altera a divergência). Como a_n\ge b_n para n\ge N, segue que
\sum_{n=N}^{\infty} a_n \ge \sum_{n=N}^{\infty} b_n = \infty,
ou seja, a cauda \sum_{n=N}^{\infty} a_n diverge.

Passo 5

Conclua a partir do passo anterior que a série completa \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge. Explicando: a soma dos primeiros N-1 termos é finita (é um número), e a soma da cauda a partir de N é infinita; somando um número finito com infinito continua sendo infinito. Portanto \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge. Isso resolve a parte (a).

Passo 6

Aplicação à parte (b)(i). Tome
a_n=\frac{1}{\ln n},\qquad b_n=\frac{1}{n},
com n\ge2. Sabemos que \sum_{n=2}^{\infty} b_n=\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n} é divergente (série harmônica). Calcule a razão:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{1/\ln n}{1/n}=\frac{n}{\ln n}.
Preciso mostrar que \dfrac{n}{\ln n}\to\infty quando n\to\infty.

Passo 7

Provar que \dfrac{n}{\ln n}\to\infty. Uma forma simples e elementar: para n\ge4 vale \ln n \le \sqrt{n}. (Isto pode ver-se examinando f(x)=\sqrt{x}-\ln x; tem derivada f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}, que é não negativa para x\ge4, e f(4)=2-\ln 4>0; portanto f(x)\ge f(4)>0 para x\ge4.) Assim, para n\ge4,
\frac{n}{\ln n} \ge \frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}.
Como \sqrt{n}\to\infty, segue \dfrac{n}{\ln n}\to\infty. Logo \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\infty.

Passo 8

Pelo resultado da parte (a), com b_n=1/n divergente e \dfrac{a_n}{b_n}\to\infty, concluímos que \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n} diverge. Isso resolve (b)(i).

Passo 9

Aplicação à parte (b)(ii). Tome
a_n=\frac{\ln n}{n},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
A razão é
\frac{a_n}{b_n}=\frac{(\ln n)/n}{1/n}=\ln n.
E sabemos que \ln n\to\infty quando n\to\infty (para dado M>0 basta tomar N=e^{M} para que \ln n>M sempre que n\ge N). Como \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, pela parte (a) obtemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n} diverge.

Passo 10

Resumo final: a parte (a) foi provada por comparação de caudas usando a definição de limite infinito; e as duas séries pedidas na parte (b) divergem por escolha de b_n=1/n e verificação de que as razões tendem a infinito.

Resposta

(a) \displaystyle \sum a_{n} diverge.
(b)(i) \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n} diverge.
(b)(ii) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n} diverge.

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