- (a) Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja divergente. Demonstre que se
Então
também é divergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}
Passo 1
O enunciado dá duas partes.
- (a) Temos duas séries com termos positivos,
e . Sabe-se que é divergente e que
A pergunta: provar que
também é divergente.
- (b) Usar a parte (a) para concluir sobre as séries:
(i).
(ii).
Passarei a resolver (a) de forma geral e depois aplicarei ao caso (b).
Passo 2
Definição explícita do que significa
(muito importante para usar corretamente).
Dizemos que
Dizemos que
se, para todo número real
, existe um índice
tal que, para todo
,
Isto é, a razão
fica arbitrariamente grande quando
é suficientemente grande.
Passo 3
Escolha
na definição acima. Então existe
tal que, para todo
,
Multiplicando ambos os lados por
(os termos são positivos pelo enunciado), obtém-se, para
,
Passo 4
Agora use o teste de comparação simples para séries com termos positivos: se para todo
temos
e
diverge, então a soma da cauda
diverge (porque retirar um número finito de termos não altera a divergência). Como
para
, segue que
ou seja, a cauda
diverge.
Passo 5
Conclua a partir do passo anterior que a série completa
diverge. Explicando: a soma dos primeiros
termos é finita (é um número), e a soma da cauda a partir de
é infinita; somando um número finito com infinito continua sendo infinito. Portanto
diverge. Isso resolve a parte (a).
Passo 6
Aplicação à parte (b)(i). Tome
com
. Sabemos que
é divergente (série harmônica). Calcule a razão:
Preciso mostrar que
quando
.
Passo 7
Provar que
. Uma forma simples e elementar: para
vale
. (Isto pode ver-se examinando
; tem derivada
, que é não negativa para
, e
; portanto
para
.) Assim, para
,
Como
, segue
. Logo
.
Passo 8
Pelo resultado da parte (a), com
divergente e
, concluímos que
diverge. Isso resolve (b)(i).
Passo 9
Aplicação à parte (b)(ii). Tome
A razão é
E sabemos que
quando
(para dado
basta tomar
para que
sempre que
). Como
diverge, pela parte (a) obtemos que
diverge.
Passo 10
Resumo final: a parte (a) foi provada por comparação de caudas usando a definição de limite infinito; e as duas séries pedidas na parte (b) divergem por escolha de
e verificação de que as razões tendem a infinito.
Resposta
(a)
diverge.
(b)(i) diverge.
(b)(ii) diverge.
(b)(i)
(b)(ii)