Se \lim x_{n}=a então \lim \left|x_{n}\right|=|a|. Dê um contra-exemplo mostrando que a recíproca é falsa, salvo quando a=0.

Passo 1

O enunciado afirma que, sempre que \lim x_{n}=a, então \lim |x_{n}|=|a|. Pede-se um contra-exemplo que mostre que a recíproca ("se \lim |x_{n}|=|a| então \lim x_{n}=a") é falsa, salvo quando a=0.
Informações relevantes que temos de considerar:
  • Queremos uma sequência (x_n) tal que \lim |x_n| = |a| mas (x_n) não converge para a (ou não converge de modo algum), com a\neq0.
  • Também precisamos mostrar por que, quando a=0, a recíproca passa a ser verdadeira (ou seja, provar que \lim |x_n|=0 implica \lim x_n=0).

Passo 2

Construção do contra-exemplo (escolha simples e clássica).
Defina, para um dado a\neq0,
x_n = (-1)^n a.
Vamos verificar o que acontece com |x_n| e com x_n.
Cálculo de |x_n|:
|x_n| = |(-1)^n a| = |a|
para todo n. Assim a sequência (|x_n|) é constante igual a |a|, logo
\lim_{n\to\infty} |x_n| = |a|.
Agora ver se (x_n) converge:
  • Para n par temos x_n = a.
  • Para n ímpar temos x_n = -a.
As subsequências formadas pelos termos pares e ímpares convergem, respectivamente, para a e para -a. Como a\neq -a (porque a\neq0), as duas subsequências tendem a limites distintos. Uma sequência convergente tem todas as suas subsequências convergentes para o mesmo limite; portanto (x_n) não converge. Conclusão: \lim |x_n| = |a| mas \lim x_n não existe (logo em particular \lim x_n \neq a). Isso mostra que a recíproca é falsa quando a\neq0.

Passo 3

Intuição e formalização do porquê a exceção a=0 ocorre.
A propriedade que falha no contra-exemplo é a mudança de sinal persistente (os termos alternam entre a e -a). Se a=0 essa alternância colapsa (pois a=-a), e não há mais esse problema.
Prova formal de que, se \lim |x_n|=0, então \lim x_n=0 (prova \varepsilon- \delta direta):
Suponha que
\lim_{n\to\infty} |x_n| = 0.
Dado \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N,
\big||x_n|-0\big| = |x_n| < \varepsilon.
Mas |x_n-0| = |x_n|. Logo, para todo n\ge N,
|x_n-0| < \varepsilon.
Isso é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty} x_n = 0. Portanto, quando a=0, a recíproca é verdadeira.

Passo 4

Observações finais, amigáveis e práticas para a prova:
  • O contra-exemplo \;x_n = (-1)^n a é curto e costuma ser o primeiro que se apresenta numa prova de análise real para demonstrar essa falha da recíproca.
  • Para a\neq0 também existem exemplos em que \lim |x_n| = |a| e \lim x_n existe mas é igual a -a (por exemplo, x_n=-a+\tfrac{1}{n} tem \lim x_n=-a e \lim|x_n|=|a| quando a>0); portanto knowing \lim |x_n|=|a| sozinho não determina o sinal limite dos x_n.

Resposta

Contra-exemplo: x_n = (-1)^n a com a\neq0. Então \lim |x_n| = |a| mas (x_n) não converge.
Se a=0: de \lim |x_n|=0 segue, por definição \varepsilon- N, que \lim x_n=0.

Exercícios relacionados