Find Lt^3 cos t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função t^3cos t. O conteúdo principal é a propriedade de diferenciação no domínio de s:
Lt^nf(t) = (-1)^nd^nds^nl[Lf(t)(s)r]
Vamos usar essa propriedade com n=3 e f(t)=cos t.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
Lcos t(s) = ss^2+1
Chamemos essa função de
g(s) = ss^2+1
Então
Lt^3cos t(s) = (-1)^3,d^3ds^3l[g(s)r] = -,g^(3)(s)

Passo 3

Calculamos a primeira derivada de g(s). Usando a regra do quociente,
g'(s) = (s^2+1)cdot1 - scdot2s(s^2+1)^2 = 1 - s^2(s^2+1)^2

Passo 4

Agora a segunda derivada. Escrevendo g'(s)=(1-s^2)(s^2+1)^-2 e aplicando produto/ cadeia, obtemos
g''(s) = 2,s,(s^2-3)(s^2+1)^3

Passo 5

Em seguida a terceira derivada. Tomando g''(s)=2s(s^2-3)(s^2+1)^3 e aplicando novamente a regra do quociente,
g^(3)(s) = -6,s^4 - 6s^2 + 1(s^2+1)^4

Passo 6

Finalmente, voltando à propriedade de diferenciação,
Lt^3cos t(s) = -,g^(3)(s) = 6,s^4 - 6s^2 + 1(s^2+1)^4

Resposta

Lt^3cos t(s) = 6,s^4 - 6s^2 + 1(s^2+1)^4

Exercícios relacionados