Show that
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace e, em particular, a propriedade que relaciona multiplicação por
no domínio do tempo a derivadas em relação ao parâmetro
.
Passo 2
Lembramos que a transformada de Laplace de uma função
é definida por
No nosso caso, queremos
, pois se tomarmos
o fator
aparece naturalmente.
Passo 3
Sabemos que
E existe a propriedade
Aplicando isso a
temos
Passo 4
Fazendo a derivada em
:
Portanto
Passo 5
Para obter a integral original, basta avaliar em
: