Show that integral0^infty t e^-3 t sin t d t=350.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty t,e^-3tsin t,dt
O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace e, em particular, a propriedade que relaciona multiplicação por t no domínio do tempo a derivadas em relação ao parâmetro s.

Passo 2

Lembramos que a transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
No nosso caso, queremos Ltsin t(3), pois se tomarmos s=3 o fator e^-3t aparece naturalmente.

Passo 3

Sabemos que
Lsin t(s)=1s^2+1
E existe a propriedade
Lt,f(t)(s)=-ddsl[Lf(t)(s)r]
Aplicando isso a f(t)=sin t temos
Ltsin t(s) =-ddsl(1s^2+1r)

Passo 4

Fazendo a derivada em s:
-ddsl(1s^2+1r) =-l(-2s(s^2+1)^2r) =2s(s^2+1)^2
Portanto
Ltsin t(s) =2s(s^2+1)^2

Passo 5

Para obter a integral original, basta avaliar em s=3:
integral0^inftyt,e^-3tsin t,dt =Ltsin t(3) =2cdot 3(3^2+1)^2 =6(9+1)^2 =6100 =350

Resposta

350

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