Find L3 t^4-2 t^3+4 e^-3 t-2 sin 5 t+3 cos 2 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=3t^4-2t^3+4e^-3t-2sin(5t)+3cos(2t)
Vamos usar a linearidade da transformada e as fórmulas conhecidas:
Lt^n=n!s^n+1, Le^-at=1s+a, Lsin(omega t)=omegas^2+omega^2, Lcos(omega t)=ss^2+omega^2

Passo 2

Para 3t^4, aplicando Lt^n=n!s^n+1 com n=4:
L3t^4 =3cdot4!s^5 =72s^5

Passo 3

Para -2t^3, com n=3:
L-2t^3 =-2cdot3!s^4 =-12s^4

Passo 4

Para 4e^-3t, usando Le^-at=1s+a:
L4e^-3t =4cdot1s+3 =4s+3

Passo 5

Para -2sin(5t), com omega=5:
L-2sin(5t) =-2cdot5s^2+5^2 =-10s^2+25

Passo 6

Para 3cos(2t), com omega=2:
L3cos(2t) =3cdotss^2+2^2 =3ss^2+4

Resposta

Somando todos os termos, obtemos:
Lf(t) =72s^5 -12s^4 +4s+3 -10s^2+25 +3ss^2+4

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