Find the Laplace transforms of each of the following functions. In each case specify the values of s for which the Laplace transform exists.
2 e^4 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função ,f(t)=2e^4t. Para isso, vamos usar a definição
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt,
e determinar para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Aplicando a definição, escrevemos
L2e^4t(s) =integral0^infty2e^4t,e^-st,dt =2integral0^inftye^-(s-4)t,dt
Para que esse integral impróprio convirja, é necessário que o expoente s-4 tenha parte real positiva, isto é, Re(s-4)>0.

Passo 3

Assumindo Re(s-4)>0, avaliamos
2integral0^inftye^-(s-4)t,dt =2[e^-(s-4)t-(s-4)]0^infty =2s-4
Portanto, a transformada existe se e somente se Re(s-4)>0, ou seja, Re(s)>4.

Resposta

L2e^4t(s)=2s-4, Re(s)>4

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