Resolva a equação diferencial usando a sub apropriadan:
x e^2 y d yd x+e^2 y=ln xx, u=e^2 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,e^2y,dydx ;+;e^2y ;=;ln xx
e sugere a mudança de variável u=e^2y. Vamos usar essa substituição para transformar a EDO não-linear em uma EDO linear em u.

Passo 2

Como u=e^2y, derivando em relação a x temos
dudx=2,e^2y,dydx Longrightarrow e^2y,dydx=12,dudx
Substituindo na equação original obtém-se
xcdot12,dudx ;+;u ;=;ln xx
ou seja
x2,dudx+u=ln xx

Passo 3

Multiplicamos tudo por 2 para simplificar:
x,dudx+2u=2,ln xx
Essa é uma EDO linear padrão na forma
dudx+2x,u=2ln xx^2
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral2xdxr)=x^2
Multiplicando a EDO por x^2 fica
x^2dudx+2x,u=2ln x Longrightarrow ddxl(x^2ur)=2ln x

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
x^2u=integral 2ln x,dx =2l(xln x-xr)+C,
onde C é constante de integração. Assim
u=2(xln x-x)+Cx^2 =2(ln x-1)x+Cx^2

Passo 5

Voltando à variável y, lembrando que u=e^2y, temos
e^2y =2(ln x-1)x+Cx^2 Longrightarrow 2y=ln!l(2(ln x-1)x+Cx^2r)
Longrightarrow y=tfrac12, ln!l(2(ln x-1)x+Cx^2r)

Resposta

y(x) =12, ln!l(2(ln x - 1)x+Cx^2r),
onde C é a constante de integração.

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