Find L(t^2-3 t+2) sin 3 t.

Passo 1

O enunciado pede L(t^2 - 3t + 2),sin 3t. Vamos usar a propriedade
Lt^n f(t) = (-1)^n d^nds^nl[Lf(t)r],
isto é, obter primeiro Lsin3t e depois as derivadas em s.

Passo 2

Calcular a transformada de sin3t.
F(s)=Lsin3t=3s^2+9

Passo 3

Usar Lt,f(t)=-ddsF(s) para obter Ltsin3t.
-dds!l(3s^2+9r) =-3cdot-2s(s^2+9)^2 =6s(s^2+9)^2

Passo 4

Usar Lt^2 f(t)=+d^2ds^2F(s) para obter Lt^2sin3t.
Calculando a segunda derivada de tfrac3s^2+9 resulta
d^2ds^2!l(3s^2+9r) =18,(s^2-3)(s^2+9)^3

Passo 5

Agora combinamos
L(t^2-3t+2)sin3t =Lt^2sin3t-3,Ltsin3t+2,Lsin3t
Substituindo os resultados:
18,(s^2-3)(s^2+9)^3 -3cdot6s(s^2+9)^2 +2cdot3s^2+9
Fazendo denominar comum (s^2+9)^3 e simplificando, obtemos
6l(s^4-3s^3+21s^2-27s+72r)(s^2+9)^3

Resposta

L(t^2-3t+2)sin3t =6l(s^4-3s^3+21s^2-27s+72r)(s^2+9)^3

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