Show that Lt^2 sin t=6 s^2-2(s^2+1)^3.

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função f(t)=t^2sin t. O conteúdo usado será a propriedade de derivação na variável s para fatores de t no domínio temporal.

Passo 2

Recordamos a propriedade
Lt^nf(t) = (-1)^n,d^nds^nl[F(s)r],
onde F(s)=Lf(t).

Passo 3

Para f(t)=sin t, temos a transformada conhecida
F(s)=Lsin t = 1s^2+1

Passo 4

Aplicando a propriedade para n=2,
Lt^2sin t =d^2ds^2!l[1s^2+1r]

Passo 5

Calculamos a primeira derivada:
ddsl[(s^2+1)^-1r] = -1cdot (s^2+1)^-2cdot 2s = -2s,(s^2+1)^-2

Passo 6

Agora derivamos de novo:
ddsl[-2s,(s^2+1)^-2r] = -2,(s^2+1)^-2 +(-2s)cdot(-2),(s^2+1)^-3cdot 2s = -2,(s^2+1)^-2 + 8s^2,(s^2+1)^-3

Passo 7

Colocando em denominador comum (s^2+1)^3 e somando:
-2,(s^2+1) + 8s^2 = -2s^2-2+8s^2 =6s^2-2,
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d^2ds^2l[1s^2+1r] =6s^2-2(s^2+1)^3

Resposta

Lt^2sin t =6s^2-2(s^2+1)^3

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