Find Lt^-1 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função ,t^-1/3.
Conteúdo: definição da transformada de Laplace e uso da função Gama.

Passo 2

Pela definição,
Lt^-1/3(s) =integral0^inftye^-st,t^-1/3,dt

Passo 3

Fazemos a substituição u=st, logo t=u/s e dt=du/s. Então
integral0^inftye^-stt^-1/3dt =integral0^inftye^-ul(usr)^-1/3dus =;s^1/3-1integral0^inftyu^-1/3e^-udu
Repare que
integral0^inftyu^-1/3e^-udu =Gammal(1-tfrac13r) =Gammal(tfrac23r)
Portanto o fator em s fica s^-2/3.

Resposta

boxedLt^-1/3(s) =Gammal(tfrac23r),s^-2/3, Re(s)>0

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