Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(cos x cos y+2 x) d x-(sin x sin y+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(cos xcos y + 2x),dx ;-;(sin xsin y + 2y),dy ;=;0
O conteúdo é equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos:
  1. Identificar M(x,y) e N(x,y).
  2. Testar se partial M/partial y = partial N/partial x.
  3. Se for exata, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que dpsi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=cos xcos y + 2x, N(x,y)=-l(sin xsin y + 2yr)
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(cos xcos y+2x) =-cos xsin y,
partial Npartial x =partialpartial xl(-sin xsin y-2yr) =-cos xsin y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y)=cos xcos y+2x
Integramos em relação a x:
psi(x,y) =integral(cos xcos y+2x),dx =sin xcos y + x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo
partial psipartial y =partialpartial yl(sin xcos y + x^2 + h(y)r) =-sin xsin y + h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=-sin xsin y-2y.
Assim,
-sin xsin y + h'(y) =-sin xsin y - 2y Longrightarrow h'(y)=-2y
e, integrando,
h(y)=-y^2 + C

Passo 5

Logo a função potencial completa é
psi(x,y)=sin xcos y + x^2 - y^2 + C,
e a solução implícita geral da equação é
boxedsin xcos y + x^2 - y^2 = C

Resposta

sin xcos y + x^2 - y^2 = C

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