Find L(1+raizt)^4.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de (1+raizt)^4. O conteúdo aqui envolve expansão binomial e o uso da fórmula da transformada de Laplace de potências de t, que é
Lt^alpha = Gamma(alpha+1)s^alpha+1, Re(s)>0,;alpha>-1

Passo 2

Aplicamos a expansão binomial em (1+raizt)^4:
(1+raizt)^4 = sumk=0^4 binom4k,(raizt)^k = sumk=0^4 binom4k,t^tfrack2

Passo 3

Usamos a linearidade da transformada e a fórmula para cada termo t^k/2:
Lt^tfrack2 = Gammal(tfrack2+1r)s^tfrack2+1
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L(1+raizt)^4 = sumk=0^4 binom4k,Gammal(tfrack2+1r)s^tfrack2+1

Passo 4

Calculamos termo a termo, lembrando que
Gamma(1)=1, Gamma(tfrac32)=tfracraizpi2, Gamma(2)=1, Gamma(tfrac52)=tfrac3raizpi4, Gamma(3)=2:
k =0: binom40Gamma(1)s^1=1s.
k =1: binom41Gamma(tfrac32)s^tfrac32 =4cdottfracraizpi2s^3/2 =2raizpis^3/2.
k =2: binom42Gamma(2)s^2 =6cdot1s^2 =6s^2.
k =3: binom43Gamma(tfrac52)s^tfrac52 =4cdottfrac3raizpi4s^5/2 =3raizpis^5/2.
k =4: binom44Gamma(3)s^3 =1cdot2s^3 =2s^3

Resposta

L(1+raizt)^4 = 1s + 2raizpis^3/2 + 6s^2 + 3raizpis^5/2 + 2s^3

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