Show that Lt J0(a t)=s(s^2+a^2)^3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
L,t,J0(a t)(s) =integral0^inftyt,J0(a t),e^-s t,dt
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de diferenciação em s
e a transformada conhecida de J0(a t).

Passo 2

Sabemos (por tabela de transformadas ou por avaliação direta da integral) que
LJ0(a t)(s) =integral0^inftyJ0(a t),e^-s t,dt =1raizs^2+a^2

Passo 3

Usamos a propriedade
Lt,f(t)(s) =-ddsl[Lf(t)(s)r]
Aplicando-a com f(t)=J0(a t) obtemos
Lt,J0(a t)(s) =-ddsl[,(s^2+a^2)^-1/2r]
Calculando a derivada,
-dds(s^2+a^2)^-1/2 =-l(-tfrac12r)(s^2+a^2)^-3/2cdot2s =s(s^2+a^2)^3/2

Resposta

Lt,J0(a t)(s) =sl(s^2+a^2r)^3/2

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