Find Le^-3 t J0(4 t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de !e^-3tJ0(4t). O conteúdo principal aqui é a Teorema do Deslocamento na variável s (first shift theorem) e a fórmula da transformada de Laplace da função de Bessel J0.

Passo 2

Sabemos que a transformada de Laplace de J0(a t) é
LJ0(a t) =1raizs^2+a^2,
válida para Re(s)>0.

Passo 3

Pelo Teorema do Deslocamento na variável s, para qualquer função f(t) e constante a,
Le^-a tf(t)(s) =F(s+a),
onde F(s)=Lf(t)(s). Aqui a=3 e f(t)=J0(4t).

Passo 4

Aplicando o deslocamento, substituímos s por s+3 em 1raizs^2+4^2. Assim,
Le^-3tJ0(4t) =1raiz(s+3)^2+16,
válida para Re(s)>-3.

Resposta

Le^-3tJ0(4t) =1raiz(s+3)^2+16

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