Prove that dd tt^n Jn(t)=t^n Jn-1(t).

Passo 1

O enunciado pede para provar que
ddtlt^nJn(t)r=t^nJn-1(t)
O conteúdo envolvido são as propriedades de derivação e as relações de recorrência das funções de Bessel de primeira espécie Jn(t). Para isso vamos usar a regra do produto, a fórmula conhecida para ddtJn(t) e a relação de recorrência que liga Jnpm1(t) a Jn(t).

Passo 2

Aplicando a regra do produto na derivada de t^nJn(t) obtemos
ddtlt^nJn(t)r =n,t^n-1Jn(t)+t^n,Jn'(t)

Passo 3

Usamos a fórmula de derivada das funções de Bessel:
Jn'(t)=Jn-1(t)-Jn+1(t)2
Substituindo na expressão anterior dá
ddtt^nJn =n,t^n-1Jn +t^n,Jn-1-Jn+12

Passo 4

Além disso, vale a relação de recorrência
2ntJn(t)=Jn-1(t)+Jn+1(t),
ou seja
Jn+1(t)=2ntJn(t)-Jn-1(t)
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Jn-1-Jn+1 =Jn-1-l(2ntJn-Jn-1r) =2,Jn-1-2ntJn

Passo 5

Substituindo essa expressão em
n,t^n-1Jn +t^n,Jn-1-Jn+12
temos
n,t^n-1Jn +t^n,2,Jn-1-tfrac2ntJn2 =n,t^n-1Jn +t^nJn-1-n,t^n-1Jn =t^nJn-1
Os termos n,t^n-1Jn se cancelam, restando exatamente t^nJn-1(t).

Resposta

ddtlt^nJn(t)r=t^nJn-1(t)

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