Find Lt J0(2 t).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar a transformada de Laplace
Lt,J0(2t).
O conteúdo principal envolve a propriedade de multiplicação por t na transformada de Laplace e a transformada conhecida da função de Bessel J0.

Passo 2

Recordamos duas coisas importantes:
  1. A propriedade de derivada em s:
    Lt,f(t) = -ddsF(s), onde F(s)=Lf(t)
  2. A transformada de Laplace de J0(a t):
LJ0(a t) = 1raizs^2+a^2

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, com a=2, temos
F(s)=LJ0(2t)=1raizs^2+4=(s^2+4)^-tfrac12
Logo,
Lt,J0(2t) =-ddsF(s) =-ddsl(s^2+4r)^-tfrac12
Calculando a derivada,
-(-tfrac12)(s^2+4)^-tfrac32cdot 2s =s(s^2+4)^tfrac32

Resposta

Lt,J0(2t)=s(s^2+4)^3/2, Re(s)>0

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