If I0(t)=J0(i t), show that LI0(a t)=1raizs^2-a^2, a>0.

Passo 1

O enunciado define a função modificada de Bessel de primeira espécie
I0(t)=J0(i,t)
e pede a transformada de Laplace de ,I0(a t).
O conteúdo principal é usar a série de potências de I0(x) e depois reconhecer uma soma conhecida que leva ao resultado.

Passo 2

Recordamos a expansão em série de I0(x):
I0(x) =sumk=0^infty1(k!)^2l(x2r)^2k

Passo 3

Escrevemos a transformada de Laplace e trocamos soma e integral:
LI0(a t) =integral0^inftye^-s tsumk=0^infty1(k!)^2l(a,t2r)^2kdt =sumk=0^infty(a/2)^2k(k!)^2 integral0^inftyt^2ke^-s tdt

Passo 4

Usamos a integral imprópria de Gamma:
integral0^inftyt^2ke^-s tdt =Gamma(2k+1)s^2k+1 =(2k)!s^2k+1

Passo 5

Substituindo na soma obtemos
LI0(a t) =sumk=0^infty(a/2)^2k(k!)^2, (2k)!s^2k+1 =1ssumk=0^infty(2k)!(k!)^2 l(a^24,s^2r)^k

Passo 6

Reconhecemos o coeficiente central e sua soma fechada:
(2k)!(k!)^2=binom2kk, sumk=0^inftybinom2kk,x^k =1raiz1-4x, |x|<tfrac14

Passo 7

Tomando x=dfraca^24s^2 fica
sumk=0^inftybinom2kkl(a^24s^2r)^k =1raiz1-a^2s^2 =sraizs^2-a^2
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LI0(a t) =1s,sraizs^2-a^2 =1raizs^2-a^2

Resposta

LI0(a t) =1raizs^2-a^2, a>0

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