Find Lt J0(t) e^-t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t,J0(t),e^-t. O conteúdo principal aqui envolve as propriedades da transformada de Laplace, em especial
  1. a transformada de Laplace da função de Bessel J0(t),
  2. a propriedade de multiplicação por t, e
  3. o deslocamento na frequência (shift) causado pelo fator e^-t.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição:
Lt,J0(t),e^-t =integral0^inftyt,J0(t),e^-t,e^-s t,dt =integral0^inftyt,J0(t),e^-(s+1)t,dt
Reconhecemos que isso é a transformada de t,J0(t), avaliada em s+1.

Passo 3

Lembramos que
LJ0(t)(s) =integral0^inftyJ0(t),e^-s t,dt =1raizs^2+1,
válido para Re(s)>0.

Passo 4

Usamos a propriedade de multiplicação por t:
Lt,J0(t)(s) =-ddsl[LJ0(t)(s)r] =-ddsl[,(s^2+1)^-1/2r]
Calculando a derivada:
dds(s^2+1)^-1/2 =-tfrac12,(s^2+1)^-3/2cdot 2s =-s(s^2+1)^3/2,
portanto
Lt,J0(t)(s) =-l(-s(s^2+1)^3/2r) =s(s^2+1)^3/2

Passo 5

Agora aplicamos o deslocamento de frequência devido ao fator e^-t:
Lt,J0(t),e^-t(s) =Lt,J0(t)(s+1) =s+1l((s+1)^2+1r)^3/2

Resposta

boxedLt,J0(t),e^-t(s) =s+1l((s+1)^2+1r)^3/2

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