Show that integral0^infty J0(t) d t=1.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que
integral0^inftyJ0(t),dt = 1,
onde J0 é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero. Para isso vamos usar a transformada de Laplace de J0 e o teorema da convergência dominada.

Passo 2

Lembramos que, para Re(s)>0, a transformada de Laplace de J0(t) é dada por
LJ0(s) =integral0^inftye^-s tJ0(t),dt =1raizs^2+1
Esse resultado pode ser encontrado em tabelas de transformadas ou obtido a partir da série de J0 e integração termo a termo.

Passo 3

Queremos integral0^inftyJ0(t),dt, que é o caso sto0^+ da transformada de Laplace. Note que e^-s tJ0(t)to J0(t) pontualmente e lvert e^-s tJ0(t)rvert<= lvert J0(t)rvert. Como J0(t) é limitada em [0,1] e decai como O(t^-1/2) em [1,infty), ele é integrável em [0,infty). Pelo teorema da convergência dominada, podemos trocar limite e integral:
integral0^inftyJ0(t),dt =limsto0^+integral0^inftye^-s tJ0(t),dt =limsto0^+1raizs^2+1 =1

Resposta

integral0^inftyJ0(t),dt=1

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