Show that
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero. O conteúdo principal aqui é reconhecer que isso equivale à transformada de Laplace de
em
e usar uma representação integral de
para trocar a ordem de integração.
Passo 2
Usamos a representação integral conhecida de
:
Passo 3
Substituindo dentro da integral e trocando a ordem de integração (justificado por Fubini, já que tudo é absolutamente convergente), obtemos
Passo 4
Reconhecemos a integral interna como a transformada de Laplace da função
:
Aqui
, logo
Passo 5
A integral original vira
Passo 6
Para calcular
observe que a função é simétrica em relação a . Basta saber que
observe que a função é simétrica em relação a
Uma forma rápida é escrever
e usar a substituição
, ou dividir em dois trechos simétricos
e
.
Passo 7
Substituindo de volta, temos