Show that integral0^infty e^-t J0(t) d t=raiz22.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^infty e^-tJ0(t),dt
onde J0(t) é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero. O conteúdo principal aqui é reconhecer que isso equivale à transformada de Laplace de J0(t) em s=1 e usar uma representação integral de J0 para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Usamos a representação integral conhecida de J0(t):
J0(t) =1piintegral0^picosl(tsinthetar),dtheta

Passo 3

Substituindo dentro da integral e trocando a ordem de integração (justificado por Fubini, já que tudo é absolutamente convergente), obtemos
integral0^infty e^-tJ0(t),dt =1piintegral0^pil[integral0^inftye^-tcos(tsintheta),dtr]dtheta

Passo 4

Reconhecemos a integral interna como a transformada de Laplace da função cos(a t):
integral0^inftye^-tcos(a t),dt =11+a^2
Aqui a=sintheta, logo
integral0^inftye^-tcosl(tsinthetar),dt =11+sin^2theta

Passo 5

A integral original vira
1piintegral0^pidtheta1+sin^2theta

Passo 6

Para calcular
integral0^pidtheta1+sin^2theta
observe que a função é simétrica em relação a theta=tfracpi2. Basta saber que
integral0^pidtheta1+sin^2theta =piraiz2
Uma forma rápida é escrever
sin^2theta=1-cos^2theta e usar a substituição u=tantheta, ou dividir em dois trechos simétricos [0,pi/2] e [pi/2,pi].

Passo 7

Substituindo de volta, temos
integral0^infty e^-tJ0(t),dt =1picdotpiraiz2 =1raiz2 =raiz22

Resposta

integral0^infty e^-tJ0(t),dt =raiz22

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