Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
(y e^x y-1 / y) d x+(x e^x y+x / y^2) d y=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(y e^x y-tfrac1yr),dx+l(x e^x y+tfracxy^2r),dy=0,
com a condição inicial y(1)=1. O conteúdo é de equações exatas, então vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, achar uma função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Definimos
M(x,y)=y e^x y-tfrac1y, N(x,y)=x e^x y+tfracxy^2
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = e^x y+x y e^x y+1y^2, partial Npartial x = e^x y+x y e^x y+1y^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar Psi(x,y) tal que Psix=M, integramos M em relação a x:
Psi(x,y)=integrall(y e^x y-tfrac1yr),dx = yintegral e^x y,dx-integral tfrac1y,dx = e^x y-xy+h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Impondo Psiy=N, temos
Psiy =partialpartial yl(e^x y-tfracxy+h(y)r) =x e^x y+xy^2+h'(y) stackrel!=N(x,y)=x e^x y+xy^2
Daí segue h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita é
Psi(x,y)=e^x y-xy=C
Usando y(1)=1 obtemos
e^1cdot1-11=C ;Longrightarrow; C=e-1
Portanto o PVI fica
e^x y-xy=e-1

Resposta

e^x y-xy=e-1

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