Find Lt Ei(t).

Passo 1

O que a questão pede: calcular a transformada de Laplace de f(t)=t,Ei(t).
Conteúdo: usamos a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e a propriedade de derivação
Lt,f(t)(s)=-ddsl[Lf(t)(s)r].

Passo 2

Calcular primeiro
F(s)=LEi(t)(s).
Usamos a série
Ei(t)=gamma+ln t+sumk=1^inftyt^kk,k!,
onde gamma é a constante de Euler.
  1. Lgamma= gammaintegral0^inftye^-stdt=gammas
  2. Lln t=integral0^infty(ln t)e^-stdt=-gamma+ln ss
  3. Para cada k>=1,
Llt^kk,k!r =1k,k!,k!s^k+1 =1k,s^k+1
Somando esses termos:
F(s) =gammas-gamma+ln ss+sumk=1^infty1k,s^k+1 =-ln ss+1ssumk=1^infty1k,s^k
Como sumk=1^infty1k,s^k=-lnl(1-1sr), obtemos
F(s) =-ln ss-1sl[-lnl(1-1sr)r] =-1sl(ln s+lnl(1-tfrac1sr)r) =-1sln(s-1),
válido para Re(s)>1.

Passo 3

Usar a propriedade de derivação:
Lt,Ei(t)(s) =-ddsF(s) =-ddsl[-1sln(s-1)r] =ddsl[ln(s-1)sr]

Passo 4

Calcular a derivada
dds!l[tfracln(s-1)sr].
Seja u=ln(s-1), v=1/s. Então
u'=1s-1, v'=-1s^2,
e
ddsl[usr] =u'v+u,v' =1s-1cdot1s -ln(s-1)cdot1s^2 =1s(s-1)-ln(s-1)s^2

Resposta

boxed Lt,Ei(t)(s) =1s(s-1)-ln(s-1)s^2, Re(s)>1

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