Find Le^-t Si(2 t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de e^-t,Si(2t). O conteúdo principal aqui é a transformada de Laplace da função integral Si(2t)=integral0^tsin(2u)u,du e a propriedade de deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Como Si(2t)=integral0^t g(u),du com g(u)=sin(2u)u, usamos a propriedade de transformada de integral:
Lintegral0^t g(u),du(s)=1sG(s),
onde G(s)=Lg(t)(s).

Passo 3

Calculamos G(s)=Lsin(2t)/t(s). É conhecido que
Llsin(at)tr(s)=arctanl(asr)
Logo, G(s)=arctanl(2/sr).

Passo 4

Então
LSi(2t)(s)=1sarctanl(2sr)
Por fim, aplicamos a propriedade de deslocamento:
Le^-tf(t)(s)=F(s+1)
Aqui basta substituir sto s+1 em F(s)=1sarctan(2/s).

Resposta

1s+1,arctanl(tfrac2s+1r)

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