é integrável e integrala^b f(x) d x=0.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),…:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
fcolon [a,b]toR, f(x)= alpha,&x=c, 0,&xneq c,
onde cin[a,b] e alphainR. Queremos mostrar que f é Riemann-integrável em [a,b] e que
integrala^bf(x),dx=0
Para isso vamos usar a definição de integrabilidade via somas superiores e inferiores (Darboux).
Passo 2
Primeiro note que
logo . Assim podemos aplicar a teoria de somas de Darboux.
Passo 3
Seja varepsilon>0. Se alpha=0, então f(x)=0 para todo x e imediatamente integrala^b f=0.
Suponha alphaneq0. Defina
de<a=varepsilon2|alpha|,,
e escolha uma partição P de [a,b] que contenha os pontos c-de<a e c. Em particular, haja um intervalo da partição que seja
Ic=[,c-de<a,;c,],
cujo comprimento é |Ic|=de<a, e todos os outros intervalos de P não contêm c.
Passo 4
Em qualquer subintervalo que não contenha c, vale sup f=0=inf f, então ele não contribui nem para a soma superior nem para a inferior. No intervalo Ic temos