Seja c in[a, b] e alpha in R. Mostre que a função definida por:
f(x)=cl alpha & , se x=c 0 & , se x neq c
é integrável e integrala^b f(x) d x=0.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),…:

Passo 1

O enunciado nos dá a função
fcolon [a,b]toR, f(x)= alpha,&x=c, 0,&xneq c,
onde cin[a,b] e alphainR. Queremos mostrar que f é Riemann-integrável em [a,b] e que
integrala^bf(x),dx=0
Para isso vamos usar a definição de integrabilidade via somas superiores e inferiores (Darboux).

Passo 2

Primeiro note que
logo . Assim podemos aplicar a teoria de somas de Darboux.

Passo 3

Seja varepsilon>0. Se alpha=0, então f(x)=0 para todo x e imediatamente integrala^b f=0.
Suponha alphaneq0. Defina
de<a=varepsilon2|alpha|,,
e escolha uma partição P de [a,b] que contenha os pontos c-de<a e c. Em particular, haja um intervalo da partição que seja
Ic=[,c-de<a,;c,],
cujo comprimento é |Ic|=de<a, e todos os outros intervalos de P não contêm c.

Passo 4

Em qualquer subintervalo que não contenha c, vale sup f=0=inf f, então ele não contribui nem para a soma superior nem para a inferior. No intervalo Ic temos
supIcf=max(alpha,0), infIcf=min(alpha,0),
de modo que
U(f,P) =supIcfcdot|Ic| <=|alpha|;de<a =|alpha|2|alpha|,varepsilon =varepsilon2,
e
L(f,P) =infIcfcdot|Ic| >= -|alpha|;de<a =-varepsilon2
Portanto
U(f,P)-L(f,P)<=varepsilon2-l(-tfracvarepsilon2r) =varepsilon
Isso mostra que, dado varepsilon>0, existe partição P com U(f,P)-L(f,P)<varepsilon, logo f é integrável.

Passo 5

Pela definição de integral de Darboux,
integrala^bf =supP L(f,P) e integrala^bf =infP U(f,P)
Como para a partição acima U(f,P)<=varepsilon/2 e L(f,P)>= -varepsilon/2, segue
-varepsilon2<=integrala^bf <=integrala^bf <=varepsilon2
Fazendo varepsilonto0 concluímos
integrala^bf =integrala^bf =0,
ou seja, integrala^b f(x),dx=0.

Resposta

integrala^bf(x),dx=0

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