If Lt F(t)=1s(s^2+1), find Le^-t F(2 t).

Passo 1

O enunciado nos dá LtF(t) = 1s(s^2+1) e pede Le^-tF(2t). Vamos usar a propriedade de derivada em s para obter LF(t), depois a mudança de escala no tempo e o deslocamento no domínio s.

Passo 2

Da propriedade Lt f(t) = -dds[Lf(t)], se chamarmos G(s)=LF(t) então
-ddsG(s) ;=;1s(s^2+1)
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G'(s) = -1s(s^2+1)

Passo 3

Para integrar G'(s) usamos frações parciais em
1s(s^2+1) = 1s - ss^2+1
Assim
G(s) = -integral 1s(s^2+1),ds = -integral 1s,ds + integral ss^2+1,ds = -ln s + tfrac12ln(s^2+1) + C
Como constantes correspondem a impulsos em t=0 que não afetam LtF(t), podemos tomar C=0.

Passo 4

Ficamos então com
G(s) = tfrac12ln(s^2+1) - ln s
Agora aplicamos a propriedade de escala no tempo: LF(2t) = tfrac12,Gl(tfracs2r), e em seguida a de deslocamento: Le^-tF(2t) = LF(2t)l(s+1r).

Passo 5

Substituindo sto (s+1) e escalando:
Le^-tF(2t) = tfrac12,G!l(tfracs+12r) = tfrac12l[tfrac12ln!l(l(tfracs+12r)^2+1r) - ln!l(tfracs+12r)r]
Simplificando os logaritmos:
Le^-tF(2t) = tfrac14ln!l((s+1)^2+4r);-;tfrac12ln(s+1) = tfrac14ln!l(1 + 4(s+1)^2r)

Resposta

Le^-tF(2t) = 14ln!l(1 + 4(s+1)^2r)

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