• Questão 3. Considere o campo vetorial dado por \vec{F}=(2 x+z) \vec{i}+2 y \vec{j}+x y \vec{k}.
    (1.0pt) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a curva definida por \vec{r}=\cos (t) \vec{i}+\operatorname{sen}(t) \vec{j}+t \vec{k}, 0 \leq \iota \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial \vec{F}=(2x+z)\,\vec{i}+2y\,\vec{j}+xy\,\vec{k} ao longo da curva C dada por
\displaystyle \vec{r}(t)=(\cos t)\,\vec{i}+(\operatorname{sen} t)\,\vec{j}+t\,\vec{k}, com 0\le t\le\pi.
O conteúdo aqui é integral de linha de segunda espécie (ou integral de trabalho) e vamos precisar parametricar, calcular \vec{r}'(t), avaliar \vec{F} em \vec{r}(t), formar o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t) e integrar de 0 a \pi.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada da parametrização:
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t),
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\vec{r}'(t)=(-\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;1).

Passo 3

Agora avaliamos \vec{F} ao longo de \vec{r}(t). Temos
x=\cos t,\; y=\operatorname{sen} t,\; z=t,
então
\vec{F}(\vec{r}(t)) =\bigl(2\cos t + t,\;2\operatorname{sen} t,\;\cos t\;\operatorname{sen} t\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar com \vec{r}'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t) =(2\cos t + t)(-\operatorname{sen} t) +2\operatorname{sen} t\cdot\cos t +\cos t\,\operatorname{sen} t\cdot1.
Agrupando termos:
-2\cos t\,\operatorname{sen} t - t\,\operatorname{sen} t +2\cos t\,\operatorname{sen} t +\cos t\,\operatorname{sen} t = -t\,\operatorname{sen} t +\cos t\,\operatorname{sen} t =\operatorname{sen} t\,( \cos t - t).

Passo 5

A integral torna-se
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,(\cos t - t)\,dt =\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,\cos t\,dt -\int_{0}^{\pi}t\,\operatorname{sen} t\,dt.
Para a primeira parte,
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} t\,\cos t\,dt =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\sen2t\,dt =0.
Para a segunda, use integração por partes com u=t, dv=\operatorname{sen} t\,dt:
\int_{0}^{\pi}t\,\operatorname{sen} t\,dt =\bigl[-t\cos t+\operatorname{sen} t\bigr]_{0}^{\pi} =( -\pi\cos\pi+\operatorname{sen}\pi )- (0+0 ) =\pi.
Logo o valor total é 0-\pi=-\pi.

Resposta

-\pi

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