Find and sketch the domain of the function. e a fronteira do domínio.
f(x, y)=\arcsin \left(x^{2}+y^{2}-2\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f(x,y)=\arcsin\bigl(x^2+y^2-2\bigr) e sua fronteira. O conteúdo envolve a definição de \arcsin, que só está definida para argumentos entre -1 e 1. Vamos usar isso para encontrar as restrições sobre x e y.

Passo 2

Para que \arcsin(u) seja real, é preciso ter
-1 \le u \le 1.
Aqui u = x^2 + y^2 - 2. Logo devemos ter
-1 \le x^2 + y^2 - 2 \le 1.

Passo 3

Somando 2 em todas as partes da desigualdade, obtemos
-1 + 2 \;\le\; x^2 + y^2 \;\le\; 1 + 2,
ou seja
1 \le x^2 + y^2 \le 3.

Passo 4

A condição 1 \le x^2 + y^2 \le 3 descreve uma coroa circular (anel) centrada na origem com raio interno \sqrt{1}=1 e raio externo \sqrt{3}. Como as desigualdades são “ \le”, o anel é fechado, incluindo ambas as circunferências de raio 1 e de raio \sqrt{3}.

Passo 5

A fronteira do domínio são exatamente os pontos onde a desigualdade vira igualdade, ou seja as duas circunferências:
x^2 + y^2 = 1 \quad\text{e}\quad x^2 + y^2 = 3.

Resposta

O domínio de f é o anel fechado
D = \bigl\{(x,y)\mid 1 \le x^2 + y^2 \le 3\bigr\},
e a sua fronteira é
\partial D = \{(x,y)\mid x^2 + y^2 = 1\}\;\cup\;\{(x,y)\mid x^2 + y^2 = 3\}.

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