Regard y as the independent variable and x as the dependent variable and use implicit differentiation to find d x / d y.
y \operatorname{sec} x=x \tan y

Passo 1

O enunciado dá a equação
y\operatorname{sec} x = x\tan y
e pede para tratar y como variável independente e x como função de y (ou seja, x=x(y)) e encontrar \dfrac{dx}{dy}.
Informações relevantes: a variável dependente é x; a variável independente é y; devemos diferenciar implicitamente ambos os lados da igualdade em relação a y.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (de forma didática e sem pular etapas):
  1. Regra do produto: se temos u(y) e v(y), então
\frac{d}{dy}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v',
onde u'=\dfrac{du}{dy} e v'=\dfrac{dv}{dy}.
  1. Regra da cadeia: se f é função de x e x é função de y, então
\frac{d}{dy}f(x)=f'(x)\,\frac{dx}{dy}.
Isso significa que, quando derivamos uma função que depende de x (por exemplo \operatorname{sec} x) em relação a y, multiplicamos pela derivada \dfrac{dx}{dy}.
  1. Derivadas conhecidas (em relação à sua própria variável):
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x\tan x,\qquad \frac{d}{dy}\tan y = \operatorname{sec}^2 y.
Usaremos essas fórmulas junto com a regra da cadeia quando necessário.

Passo 3

Diferenciamos o membro esquerdo y\operatorname{sec} x usando a regra do produto. Tome u(y)=y e v(y)=\operatorname{sec} x (lembrando que x depende de y). Então
\frac{d}{dy}\big(y\operatorname{sec} x\big)=\frac{d}{dy}(y)\cdot\operatorname{sec} x + y\cdot\frac{d}{dy}(\operatorname{sec} x).
Calculando cada parte: \dfrac{d}{dy}(y)=1. Para \dfrac{d}{dy}(\operatorname{sec} x) aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dy}(\operatorname{sec} x)=\big(\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x\big)\dfrac{dx}{dy}=\operatorname{sec} x\tan x\cdot\dfrac{dx}{dy}. Portanto
\frac{d}{dy}\big(y\operatorname{sec} x\big)=\operatorname{sec} x + y\big(\operatorname{sec} x\tan x\big)\frac{dx}{dy}.

Passo 4

Diferenciamos o membro direito x\tan y também pela regra do produto. Tome u(y)=x e v(y)=\tan y. Então
\frac{d}{dy}\big(x\tan y\big)=\frac{dx}{dy}\cdot\tan y + x\cdot\frac{d}{dy}(\tan y).
Sabemos que \dfrac{d}{dy}(\tan y)=\operatorname{sec}^2 y. Logo
\frac{d}{dy}\big(x\tan y\big)=\frac{dx}{dy}\tan y + x\operatorname{sec}^2 y.

Passo 5

Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
\operatorname{sec} x + y\big(\operatorname{sec} x\tan x\big)\frac{dx}{dy} = \frac{dx}{dy}\tan y + x\operatorname{sec}^2 y.

Passo 6

Vamos isolar os termos que contêm \dfrac{dx}{dy}. Subtraímos \frac{dx}{dy}\tan y de ambos os lados e subtraímos \operatorname{sec} x de ambos os lados:
y\operatorname{sec} x\tan x\cdot\frac{dx}{dy} - \tan y\cdot\frac{dx}{dy} = x\operatorname{sec}^2 y - \operatorname{sec} x.
Fatorando \dfrac{dx}{dy} no lado esquerdo:
\big(y\operatorname{sec} x\tan x - \tan y\big)\frac{dx}{dy} = x\operatorname{sec}^2 y - \operatorname{sec} x.

Passo 7

Finalmente, dividimos pelos fatores que multiplicam \dfrac{dx}{dy} para obter a expressão procurada:
\frac{dx}{dy}=\frac{x\operatorname{sec}^2 y - \operatorname{sec} x}{\,y\operatorname{sec} x\tan x - \tan y\,}.

Resposta

\frac{dx}{dy}=\frac{x\operatorname{sec}^2 y - \operatorname{sec} x}{y\operatorname{sec} x\tan x - \tan y}

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