Regard
as the independent variable and
as the dependent variable and use implicit differentiation to find
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para tratar
como variável independente e
como função de
(ou seja,
) e encontrar
.
Informações relevantes: a variável dependente é ; a variável independente é
; devemos diferenciar implicitamente ambos os lados da igualdade em relação a
.
Informações relevantes: a variável dependente é
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (de forma didática e sem pular etapas):
- Regra do produto: se temos
e , então
onde
e
.
- Regra da cadeia: se
é função de e é função de , então
Isso significa que, quando derivamos uma função que depende de
(por exemplo
) em relação a
, multiplicamos pela derivada
.
- Derivadas conhecidas (em relação à sua própria variável):
Usaremos essas fórmulas junto com a regra da cadeia quando necessário.
Passo 3
Diferenciamos o membro esquerdo
usando a regra do produto. Tome
e
(lembrando que
depende de
). Então
Calculando cada parte:
. Para
aplicamos a regra da cadeia:
. Portanto
Passo 4
Diferenciamos o membro direito
também pela regra do produto. Tome
e
. Então
Sabemos que
. Logo
Passo 5
Agora igualamos as derivadas dos dois lados (porque derivada do lado esquerdo = derivada do lado direito):
Passo 6
Vamos isolar os termos que contêm
. Subtraímos
de ambos os lados e subtraímos
de ambos os lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, dividimos pelos fatores que multiplicam
para obter a expressão procurada: