Find d y / d x by implicit differentiation.
y \sin \left(x^{2}\right)=x \sin \left(y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} da função definida implicitamente pela equação
y\sin\left(x^{2}\right)=x\sin\left(y^{2}\right).
Informações dadas:
  • A relação entre x e y é dada pela igualdade acima.
  • y é uma função de x (ou seja, y=y(x)), então ao derivar em relação a x devemos aplicar a regra da diferenciação implícita (tratando y como função de x).

Passo 2

Vamos explicar as ferramentas que vamos usar.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Aqui o apóstrofo ' significa derivada em relação a x, ou seja u'=\dfrac{du}{dx}.
  • Regra da cadeia: se u é função de v e v é função de x, então
\frac{d}{dx}u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x).
Exemplo: \dfrac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x.
  • No caso de y dependendo de x, ao derivar expressões como y^{2} usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}y^{2}=2y\cdot \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a x. Começo pelo lado esquerdo y\sin\left(x^{2}\right). Aplicando a regra do produto, com u=y(x) e v=\sin(x^{2}),
\frac{d}{dx}\big(y\sin(x^{2})\big)=\frac{dy}{dx}\sin(x^{2})+y\cdot\frac{d}{dx}\sin(x^{2}).
Agora aplico a regra da cadeia para \sin(x^{2}): \dfrac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x. Logo
\frac{d}{dx}\big(y\sin(x^{2})\big)=\frac{dy}{dx}\sin(x^{2})+y\cdot 2x\cos(x^{2}).

Passo 4

Agora o lado direito x\sin\left(y^{2}\right). Novamente regra do produto, com u=x e v=\sin(y^{2}):
\frac{d}{dx}\big(x\sin(y^{2})\big)=1\cdot\sin(y^{2})+x\cdot\frac{d}{dx}\sin(y^{2}).
Para \dfrac{d}{dx}\sin(y^{2}) uso regra da cadeia: primeira deriva-se \sin obtendo \cos(y^{2}) e multiplica-se pela derivada de y^{2}, que é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}. Então
\frac{d}{dx}\sin(y^{2})=\cos(y^{2})\cdot 2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(x\sin(y^{2})\big)=\sin(y^{2})+x\cdot\big(2y\cos(y^{2})\cdot\frac{dy}{dx}\big).

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação que envolve \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\sin(x^{2})+2xy\cos(x^{2})=\sin(y^{2})+2xy\cos(y^{2})\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 6

Agrupo os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} num mesmo lado. Subtraio 2xy\cos(y^{2})\cdot\dfrac{dy}{dx} e subtraio 2xy\cos(x^{2}) do outro lado:
\frac{dy}{dx}\sin(x^{2})-2xy\cos(y^{2})\cdot\frac{dy}{dx}=\sin(y^{2})-2xy\cos(x^{2}).
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\frac{dy}{dx}\,\big(\sin(x^{2})-2xy\cos(y^{2})\big)=\sin(y^{2})-2xy\cos(x^{2}).

Passo 7

Isolo \dfrac{dy}{dx} dividindo ambos os lados pelo fator \big(\sin(x^{2})-2xy\cos(y^{2})\big) (assumindo que esse fator não seja zero no ponto considerado):
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(y^{2})-2xy\cos(x^{2})}{\sin(x^{2})-2xy\cos(y^{2})}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\left(y^{2}\right)-2xy\cos\left(x^{2}\right)}{\sin\left(x^{2}\right)-2xy\cos\left(y^{2}\right)}

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