Find
by implicit differentiation.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função definida implicitamente pela equação
Informações dadas:
- A relação entre
e é dada pela igualdade acima. -
é uma função de (ou seja, ), então ao derivar em relação a devemos aplicar a regra da diferenciação implícita (tratando como função de ).
Passo 2
Vamos explicar as ferramentas que vamos usar.
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui o apóstrofo
significa derivada em relação a
, ou seja
.
- Regra da cadeia: se
é função de e é função de , então
Exemplo:
.
- No caso de
dependendo de , ao derivar expressões como usamos a regra da cadeia: .
Passo 3
Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a
. Começo pelo lado esquerdo
. Aplicando a regra do produto, com
e
,
Agora aplico a regra da cadeia para
:
. Logo
Passo 4
Agora o lado direito
. Novamente regra do produto, com
e
:
Para
uso regra da cadeia: primeira deriva-se
obtendo
e multiplica-se pela derivada de
, que é
. Então
Portanto
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação que envolve
:
Passo 6
Agrupo os termos que contêm
num mesmo lado. Subtraio
e subtraio
do outro lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 7
Isolo
dividindo ambos os lados pelo fator
(assumindo que esse fator não seja zero no ponto considerado):