Find equations of (a) the tangent plane and (b) the normal line to the given surface at the specified point.
Passo 1
O enunciado pede (a) a equação do plano tangente e (b) a equação da reta normal à superfície definida por
no ponto
. Vamos tratar a superfície de modo implícito, definindo
usar o gradiente
para o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Primeiro, verificamos que o ponto
está na superfície substituindo em
:
que coincide com
. Logo, o ponto pertence à superfície.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Assim, o vetor normal (gradiente) no ponto é
Passo 4
A equação do plano tangente em
é dada por
Isto é,
Desenvolvendo, obtemos a forma mais simples
Passo 5
A reta normal passa pelo ponto
na direção de
. Suas equações paramétricas são
Resposta
(a) Plano tangente:
(b) Reta normal: