Find equations of (a) the tangent plane and (b) the normal line to the given surface at the specified point.
y=x^{2}-z^{2}, (4,7,3)

Passo 1

O enunciado pede (a) a equação do plano tangente e (b) a equação da reta normal à superfície definida por
y = x^{2} - z^{2}
no ponto (4,7,3). Vamos tratar a superfície de modo implícito, definindo
F(x,y,z)=y - x^{2} + z^{2}=0,
usar o gradiente \nabla F para o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Primeiro, verificamos que o ponto (4,7,3) está na superfície substituindo em y = x^{2}-z^{2}:
x^{2}-z^{2}=4^{2}-3^{2}=16-9=7,
que coincide com y=7. Logo, o ponto pertence à superfície.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x}=-2x,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Assim, o vetor normal (gradiente) no ponto é
\nabla F(4,7,3)=(-2\cdot4,\;1,\;2\cdot3)=(-8,\,1,\,6).

Passo 4

A equação do plano tangente em (4,7,3) é dada por
\nabla F(4,7,3)\cdot\bigl[(x,y,z)-(4,7,3)\bigr]=0.
Isto é,
-8(x-4)+(y-7)+6(z-3)=0.
Desenvolvendo, obtemos a forma mais simples
8x - y - 6z = 7.

Passo 5

A reta normal passa pelo ponto (4,7,3) na direção de \nabla F(4,7,3)=(-8,1,6). Suas equações paramétricas são
x=4-8t,\quad y=7+t,\quad z=3+6t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Plano tangente:
8x - y - 6z = 7.
(b) Reta normal:
\bigl\{ \begin{aligned} x&=4-8t,\\\ y&=7+t,\\\ z&=3+6t, \end{aligned} \quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados