Find equations of (a) the tangent plane and (b) the normal line to the given surface at the specified point.
z+1=x e^{y} \cos z, (1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal à superfície implícita
z + 1 = x e^{y} \cos z
no ponto (1,0,0). Vamos usar a função
F(x,y,z) = z + 1 - x e^{y} \cos z
e aplicar o gradiente para obter o vetor normal.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x} = -e^{y}\cos z,
\frac{\partial F}{\partial y} = -x e^{y}\cos z,
\frac{\partial F}{\partial z} = 1 + x e^{y}\sin z.

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto (1,0,0):
\frac{\partial F}{\partial x}(1,0,0) = -e^{0}\cos0 = -1,
\frac{\partial F}{\partial y}(1,0,0) = -1\cdot e^{0}\cos0 = -1,
\frac{\partial F}{\partial z}(1,0,0) = 1 + 1\cdot e^{0}\sin0 = 1.
Logo o vetor normal é \nabla F(1,0,0) = (-1,\,-1,\,1).

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente usando
\frac{\partial F}{\partial x}(x-1) + \frac{\partial F}{\partial y}(y-0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z-0) = 0.
Substituindo os valores:
-1\,(x-1) \;+\; (-1)\,y \;+\; 1\,z = 0
que simplifica para
z = x + y - 1.

Passo 5

Escrever a reta normal em forma paramétrica, partindo de (1,0,0) na direção de \nabla F:
\begin{cases} x(t) = 1 - t,\\\ y(t) = 0 - t = -t,\\\ z(t) = 0 + t = t. \end{cases}

Resposta

(a) Plano tangente:
z = x + y - 1.
(b) Reta normal (paramétrica):
x = 1 - t,\quad y = -t,\quad z = t.

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