Find equations of (a) the tangent plane and (b) the normal line to the given surface at the specified point.
2(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=10, (3,3,5)

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
2(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=10
e pede (a) o plano tangente e (b) a reta normal em (3,3,5). Vamos usar superfícies de nível: se definimos
F(x,y,z)=2(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}-10,
então a superfície é F(x,y,z)=0. A fórmula do plano tangente a F=0 em (x_0,y_0,z_0) é
F_x(x_0,y_0,z_0)\,(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)\,(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)\,(z-z_0)=0,
e a equação vetorial da reta normal é
\mathbf{r}(t)=(x_0,y_0,z_0)+t\bigl(F_x(x_0,y_0,z_0),\,F_y(x_0,y_0,z_0),\,F_z(x_0,y_0,z_0)\bigr).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
F_x(x,y,z)=4(x-2),\quad F_y(x,y,z)=2(y-1),\quad F_z(x,y,z)=2(z-3).

Passo 3

Avaliamo-las em (3,3,5):
F_x(3,3,5)=4(3-2)=4,
F_y(3,3,5)=2(3-1)=4,
F_z(3,3,5)=2(5-3)=4.
Logo \nabla F(3,3,5)=(4,4,4).

Passo 4

Substituindo no plano tangente:
4(x-3)+4(y-3)+4(z-5)=0.
Dividindo por 4 fica
x+y+z-11=0.

Passo 5

Para a reta normal, partimos de (3,3,5) com direção (4,4,4). As equações paramétricas são
x=3+4t
y=3+4t
z=5+4t

Resposta

Plano tangente:
x+y+z-11=0.
Reta normal (paramétrica):
x=3+4t,\quad y=3+4t,\quad z=5+4t.

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