Find equations of (a) the tangent plane and (b) the normal line to the given surface at the specified point.
x-z=4 \arctan (y z), (1+\pi, 1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal e do plano tangente à superfície dada implicitamente por
x - z = 4\arctan(yz)
no ponto P=(1+\pi,1,1). Para isso vamos usar o conceito de gradiente de uma função implícita F(x,y,z)=0, que nos dá um vetor normal à superfície em cada ponto.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = x - z - 4\arctan(yz).
O vetor gradiente é
\nabla F = \Bigl(F_x,\,F_y,\,F_z\Bigr),
onde
F_x = \frac{\partial}{\partial x}(x - z) - 4\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\arctan(yz)\bigr)=1,
F_y = -4\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\arctan(yz)\bigr) =-4\frac{z}{1+(yz)^2},
F_z = -1 -4\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\arctan(yz)\bigr) =-1 -4\frac{y}{1+(yz)^2}.

Passo 3

No ponto P temos y=1, z=1 e yz=1, então 1+(yz)^2=2. Assim
F_x(P)=1,\quad F_y(P)=-4\cdot\frac{1}{2}=-2,\quad F_z(P)=-1 -4\cdot\frac{1}{2}=-3.
Logo o vetor normal à superfície em P é
\mathbf{N} = (1,\,-2,\,-3).

Passo 4

A equação do plano tangente em P é
\mathbf{N}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0,
ou seja
1\,(x-(1+\pi))-2\,(y-1)-3\,(z-1)=0.
Resolvendo, chega-se a
x -2y -3z +4 -\pi =0.

Passo 5

A reta normal à superfície em P passa por P e tem direção dada por \mathbf{N}=(1,-2,-3). Em forma paramétrica:
\begin{cases} x = 1+\pi + t,\\\ y = 1 - 2t,\\\ z = 1 - 3t. \end{cases}

Resposta

(a) Plano tangente:
x -2y -3z +4 -\pi =0.
(b) Reta normal:
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(1+\pi,1,1\bigr) + t\,(1,-2,-3).

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