Find equations of (a) the tangent plane and (b) the normal line to the given surface at the specified point.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta normal e do plano tangente à superfície dada implicitamente por
no ponto
. Para isso vamos usar o conceito de gradiente de uma função implícita
, que nos dá um vetor normal à superfície em cada ponto.
Passo 2
Definimos
O vetor gradiente é
onde
Passo 3
No ponto
temos
,
e
, então
. Assim
Logo o vetor normal à superfície em
é
Passo 4
A equação do plano tangente em
é
ou seja
Resolvendo, chega-se a
Passo 5
A reta normal à superfície em
passa por
e tem direção dada por
. Em forma paramétrica:
Resposta
(a) Plano tangente:
(b) Reta normal: